기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구와 좌표평면 단면

문제

좌표공간에서 yzy z평면과 만나지 않는 구 (x−a)2+(y−b)2+(z−b)2=3b2( x - a ) ^{2} + ( y - b ) ^{2} + ( z - b ) ^{2} = 3 b ^{2} 가 있다. 이 구가 xyxy평면과 만나서 생기는 원을 C1C _{1}, zxzx평면과 만나서 생기는 원을 C2C _{2}라 하자. 원 C1C _{1}과 그 내부로 이루어진 도형에서 y≥0y \geq 0인 부분과 원 C2C _{2}와 그 내부로 이루어진 도형에서 z≥0z \geq 0인 부분의 넓이의 합이 192π+128192 \pi + 128일 때, a+ba + b의 최솟값을 구하시오. (단, a,ba , b는 자연수이다.) [4점]

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22

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해설

[출제의도] 구의 성질 문제해결하기 구 (x−a)2+(y−b)2+(z−b)2=3b2( x - a ) ^{2} + ( y - b ) ^{2} + ( z - b ) ^{2} = 3 b ^{2}을 xyxy평면으로 잘라 생기는 원의 방정식은 C1:(x−a)2+(y−b)2=2b2,z=0⋯(ㄱ)C _{1} : ( x - a ) ^{2} + ( y - b ) ^{2} = 2 b ^{2} , z = 0 \cdots ( \text{ㄱ} ) 또한, 주어진 구를 zxzx평면으로 잘라 생기는 원의 방정식은 C2:(x−a)2+(z−b)2=2b2,y=0⋯(ㄴ)C _{2} : ( x - a ) ^{2} + ( z - b ) ^{2} = 2 b ^{2} , y = 0 \cdots ( \text{ㄴ} ) (ㄱ),(ㄴ)을 연립하면 (x−a)2=b2,x=a±b( x - a ) ^{2} = b ^{2} , x = a \pm b 이므로 두 원의 교점을 A,BA , B라 하면 AB‾=2b\displaystyle {\overline{AB}} = 2 b

(ㄴ)의 중심을 C(a,0,b)C ( a , 0 , b )라 하고 점 CC에서 xx축에 내린 수선의 발을 HH라 하면 AH‾=BH‾=CH‾=b\displaystyle {\overline{AH}} = {\overline{BH}} = {\overline{CH}} = b 삼각형 ACBACB는 ∠ACB=π2\displaystyle \angle ACB = \frac{\pi}{2}인 직각이등변삼각형이므로 구하는 두 부분의 넓이의 합은 2{12×(b2)2×32π+12(b2)2}=192π+128\displaystyle 2 \left\{ \frac{1}{2} \times ( b \sqrt{2} ) ^{2} \times \frac{3}{2} \pi + \frac{1}{2} ( b \sqrt{2} ) ^{2} \right\} = 192 \pi + 128 이므로 b=8b = 8 한편 주어진 구가 yzyz평면과 만나지 않으므로 a>83\displaystyle a > 8 \sqrt{3}, 즉 a2>192a ^{2} > 192 따라서 aa가 14일 때, a+ba + b의 값이 최소가 된다. ∴a+b=22\therefore a + b = 22

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#구의 방정식#단면#활꼴

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