구와 정사영 넓이

[출제의도] 정사영을 활용하여 추론하기 $\displaystyle \tan \left( \angle \mathrm{AOB} \right) = \tan \left( \angle \mathrm{AOC} \right) = \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\angle} AOB = \angle AOC = \frac{\pi}{3}$ 맞꼭지각의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\angle} DOE = \angle DOF = \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = {\overline{\mathrm{OE}}} = {\overline{\mathrm{OF}}} = 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = {\overline{\mathrm{DF}}} = 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = {\overline{OC}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{OBC}$와 삼각형 $\mathrm{OEF}$의 닮음비가 $2 : 1$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = \sqrt{6}$ 선분 $\mathrm{EF}$의 중점을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} = {\overline{OH}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 넓이 $S'$은 $\displaystyle S' = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{DH}} \times {\overline{EF}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{2} \times \sqrt{6} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ 평면 $\mathrm{OBC}$와 평면 $\mathrm{OEF}$는 같은 평면이므로 두 평면 $\mathrm{DEF}$와 $\mathrm{OBC}$가 이루는 예각의 크기는 두 평면 $\mathrm{DEF}$와 $\mathrm{OEF}$가 이루는 예각의 크기와 같다. 두 평면 $\mathrm{DEF}$와 $\mathrm{OEF}$가 이루는 예각의 크기 $\theta$는 두 직선 $\mathrm{DH}$, $\mathrm{OH}$가 이루는 예각의 크기와 같다. $\displaystyle \mathrm{\cos} \theta = \frac{{\overline{DH}} ^{2} + {\overline{OH}} ^{2} - {\overline{OD}} ^{2}}{2 \times {\overline{DH}} \times {\overline{OH}}} = \frac{1}{5}$ 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 평면 $\mathrm{OBC}$위로의 정사영의 넓이$\displaystyle S = S' \times \cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{10}$ 따라서 $100 S ^{2} = 15$