기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구와 정사영 넓이

문제

좌표공간에 서로 평행한 두 평면 α\alpha, β\beta와 중심이 O{\mathrm{O}}이고 반지름의 길이가 13\displaystyle \sqrt{13}인 구 SS가 있다. 점 O{\mathrm{O}}에서 두 평면 α\alpha, β\beta에 내린 수선의 발을 각각 H1{\mathrm{H}} _{1}, H2{\mathrm{H}} _{2}라 하면 OH1‾=OH2‾=2\displaystyle {\overline{{\mathrm{OH}} _{1}}} = {\overline{{\mathrm{OH}} _{2}}} = 2이다. 구 SS가 평면 α\alpha와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 P{\mathrm{P}}, 구 SS가 평면 β\beta와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 삼각형 POQ{\mathrm{POQ}}의 평면 β\beta 위로의 정사영의 넓이가 최대일 때, 평면 POQ{\mathrm{POQ}}와 평면 β\beta가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하자. cos⁡θ\cos \theta의 값은? (단, 세 점 O{\mathrm{O}}, P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}는 한 직선 위에 있지 않고, 직선 PQ{\mathrm{PQ}}와 직선 H1H2{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}}는 서로 평행하지 않다.) [4점] ①21717\displaystyle \frac{2 \sqrt{17}}{17}②51734\displaystyle \frac{5 \sqrt{17}}{34}③31717\displaystyle \frac{3 \sqrt{17}}{17}④71734\displaystyle \frac{7 \sqrt{17}}{34}⑤41717\displaystyle \frac{4 \sqrt{17}}{17}

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

구 SS의 반지름의 길이가 13\displaystyle \sqrt{13}이므로 PH1‾=(13)2−22=3\displaystyle {\overline{{\mathrm{PH}} _{1}}} = \sqrt{\left( \sqrt{13} \right) ^{2} - 2 ^{2}} = 3, QH2‾=(13)2−22=3\displaystyle {\overline{{\mathrm{QH}} _{2}}} = \sqrt{\left( \sqrt{13} \right) ^{2} - 2 ^{2}} = 3 점 P{\mathrm{P}}의 평면 β\beta 위로의 정사영을 P′{\mathrm{P}}'이라 하자. 삼각형 POQ{\mathrm{POQ}}의 평면 β\beta 위로의 정사영은 삼각형 P′H2Q{\mathrm{P}}' {\mathrm{H}} _{2} {\mathrm{Q}}이다. 삼각형 P′H2Q{\mathrm{P}}' {\mathrm{H}} _{2} {\mathrm{Q}}의 넓이는 12×P′H2‾×QH2‾×sin⁡(∠P′H2Q)\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{H}} _{2}}} \times {\overline{{\mathrm{QH}} _{2}}} \times \sin \left( \angle {\mathrm{P}}' {\mathrm{H}} _{2} {\mathrm{Q}} \right)이므로 ∠P′H2Q=π2\displaystyle \angle {\mathrm{P}}' {\mathrm{H}} _{2} {\mathrm{Q}} = \frac{\pi}{2}일 때 최대이다. 직선 PO{\mathrm{PO}}가 평면 β\beta와 만나는 점을 R{\mathrm{R}}이라 하자. 선분 P′R{\mathrm{P}}' {\mathrm{R}}는 구 SS가 평면 β\beta와 만나서 생기는 원의 지름이므로 P′Q‾⊥QR‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{Q}}}} \perp {\overline{\mathrm{QR}}}이다. PP′‾⊥β\displaystyle {\overline{{\mathrm{PP}}'}} \perp \beta, P′Q‾⊥QR‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{Q}}}} \perp {\overline{\mathrm{QR}}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 PQ‾⊥QR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} \perp {\overline{\mathrm{QR}}}이고 직선 QR{\mathrm{QR}}가 평면 POQ{\mathrm{POQ}}와 평면 β\beta의 교선이므로 θ=∠PQP′\theta = \angle {\mathrm{PQP}}' 직각삼각형 P′H2Q{\mathrm{P}}' {\mathrm{H}} _{2} {\mathrm{Q}}에서 P′Q‾=32+32=32\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{Q}}}} = \sqrt{3 ^{2} + 3 ^{2}} = 3 \sqrt{2} 직각삼각형 PP′Q{\mathrm{PP}}' {\mathrm{Q}}에서 PQ‾=(32)2+42=34\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \sqrt{\left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} + 4 ^{2}} = \sqrt{34} cos⁡θ=P′Q‾PQ‾=3234=31717\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{Q}}}}}{{\overline{\mathrm{PQ}}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{17}}{17}

태그

#정사영#삼수선의 정리

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 공간도형과 공간좌표 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로