구의 접평면 거리

구 $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 9$의 중심을 $\mathrm{C}$라 하고 점 $\mathrm{P}$가 $xy$ 평면 위의 점이므로 $\mathrm{P}$$( a , b , 0 )$라 하자.

점 $\mathrm{P}$는 구 $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 9$ 위의 점이므로 $( a - 2 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} + ( 0 - 1 ) ^{2} = 9$ ∴ $( a - 2 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = 8$ ⋯⋯ ㉠ 구 $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 9$는 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$와 접하므로 $\mathrm{\vec{CP}} \perp \alpha$ 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{A}$는 평면 $\alpha$ 위의 점이므로 $\mathrm{\vec{CP}} \perp \vec{AP}$ 이다. 따라서 $\mathrm{\vec{CP}} \cdot \vec{AP}$$= 0$에서 $( a - 2 , b - 2 , - 1 ) \cdot ( a - 3 , b - 3 , 4 )$ $= ( a - 2 ) ( a - 3 ) + ( b - 2 ) ( b - 3 ) - 4$ $= a ^{2} - 5 a + b ^{2} - 5 b + 8$$= 0$ ⋯⋯ ㉡ ㉠$-$㉡에서 $a + b = 8$ $b = 8 - a$를 ㉠에 대입하여 정리하면 $2 ( a - 4 ) ^{2} = 0$ ∴ $a = b = 4$ (∵ $b = 8 - a$) $\mathrm{\vec{CP}} = ( 2 , 2 , - 1 )$이고 $\mathrm{\vec{CP}} \perp \alpha$이므로 평면 $\alpha$의 법선벡터를 $\mathrm{\vec{CP}}$로 하면 평면 $\alpha$가 점 $\mathrm{P}$를 지나므로 평면 $\alpha$의 방정식은 $2 ( x - 4 ) + 2 ( y - 4 ) - ( z - 0 ) = 0$, 즉 $2 x + 2 y - z = 16$이다. 따라서 원점과 평면 $\alpha$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| - 16 |}{\sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{16}{3}$