구조대 도착 해역

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 수학 외적 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 좌표평면 위해 $\mathrm{A}$구조대의 위치를 원점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{B}$구조대의 위치를 $\mathrm{Q} \mathit{\left( 600 , 0 \right)}$에 두고 가상 사고지점을 $\mathrm{P} \mathit{\left( x , y \right)}$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{O}} \mathit{\mathrm{P}}} \geq 2 \overline{{\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{Q}}}$이므로 $\displaystyle \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} \geq 2 \sqrt{\left( x - 600 \right) ^{2} + y ^{2}}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $\left( x - 800 \right) ^{2} + y ^{2} \leq 160000$

(단, 경계선은 영역에 포함된다.) 따라서 조건에 맞는 해역의 넓이는 $160000 \pi m ^{2}$ $\displaystyle \therefore \frac{S}{1000 \pi} = 160$ [다른풀이] ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$구조대가 동시에 도착할 때 점 ${\mathrm{P}} \mathit{\left( x , y \right)}$가 그리는 도형은 $\displaystyle \overline{{\mathrm{O}} \mathit{\mathrm{P}}} : \overline{{\mathrm{P}} \mathit{\mathrm{Q}}} = 2 : 1$을 만족하는 점들의 집합이므로 선분 ${\mathrm{O}} \mathit{\mathrm{Q}}$를 $2 : 1$로 내분하는 점 $\left( 400 , 0 \right)$과 $2 : 1$로 외분하는 점 $\left( 1200 , 0 \right)$을 지름의 양끝으로 하는 원이다. 이 원은 중심이 점 $\left( 800 , 0 \right)$이고 반지름의 길이가 $400$이다. 따라서 조건을 만족하는 해역은 이 원과 그 내부이므로 넓이는 $160000 \pi m ^{2}$이다. $\displaystyle \therefore \frac{S}{1000 \pi} = 160$