구간별 삼차함수 증감

함수 $f \left( x \right)$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( - \frac{1}{3} x ^{3} - ax ^{2} - bx \right) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( \frac{1}{3} x ^{3} + ax ^{2} - bx \right) = 0$ $f \left( 0 \right) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x \right) = f \left( 0 \right)$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 연속이다. $\displaystyle f' \left( x \right) = {\begin{cases} - x ^{2} - 2 ax - b & \left( x < 0 \right) \\ x ^{2} + 2 ax - b & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$ $x < 0$에서 함수 $f' \left( x \right) = - x ^{2} - 2 ax - b$이다. 함수 $f \left( x \right)$는 구간 $( - \infty , - 1 ]$에서 감소하고, 닫힌구간 $\left[ - 1 , 0 \right]$에서 증가하므로 $f' \left( - 1 \right) = 0$ 방정식 $- x ^{2} - 2 ax - b = 0$의 한 실근이 $- 1$이므로 $- 1 + 2 a - b = 0$, $b = 2 a - 1$ 방정식 $x ^{2} + 2 ax + b = 0$에 두 근의 곱이 $b$이므로 다른 한 실근은 $- b$이다.

함수 $f \left( x \right)$는 구간 $( - \infty , - 1 ]$에서 감소하고, 구간 $\left[ - 1 , 0 \right]$에서 증가하므로 $- b > - 1$, $- b \geq 0$, $b \leq 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $b = 2 a - 1$이므로 $2 a - 1 \leq 0$, $\displaystyle a \leq \frac{1}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $x > 0$에서 함수 $f' \left( x \right) = x ^{2} + 2 ax - b$이다. 함수 $f \left( x \right)$는 구간 $[ 0 , \infty )$에서 증가한다. $x > 0$에서 $g \left( x \right) = x ^{2} + 2 ax - b$라 하자. (ⅰ) $- a < 0$, 즉 $a > 0$일 때 $x > 0$에서 $g \left( x \right) \geq 0$을 만족해야 하므로 $g \left( 0 \right) \geq 0$, $- b \geq 0$ $b = 2 a - 1$이므로 $\displaystyle a \leq \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle 0 < a \leq \frac{1}{2}$

(ⅱ) $- a > 0$, 즉 $a < 0$일 때 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} + 2 a - 1 \leq 0$, $\displaystyle - 1 - \sqrt{2} \leq a \leq - 1 + \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle - 1 - \sqrt{2} \leq a < 0$ 이때, 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + 2 ax - b \geq 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 구간 $[ 0 , \infty )$에서 증가한다. ㉡과 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $f \left( x \right)$는 구간 $[ 0 , \infty )$에서 증가할 때 실수 $a$의 범위는 $\displaystyle - 1 - \sqrt{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$ $b = 2 a - 1$이므로 $a + b$, 즉 $3 a - 1$의 최댓값은 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle M = \frac{1}{2}$이고, 최솟값은 $\displaystyle a = - 1 - \sqrt{2}$일 때 $\displaystyle m = - 4 - 3 \sqrt{2}$이다. $\therefore$ $\displaystyle M - m = \frac{9}{2} + 3 \sqrt{2}$