구간별 사인함수 교점

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하여 문제를 해결한다. 그림은 $k$의 값에 따른 두 곡선 $y = f ( x )$, $y = \sin x$와 직선 $\displaystyle y = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$를 좌표평면에 나타낸 것이다. 각 그림에서 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $\displaystyle y = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$의 교점의 개수 $a _{k}$를 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $k = 1$ 일 때, $a _{1} = 2$

(ⅱ) $k = 2$ 일 때, $a _{2} = 2$

(ⅲ) $k = 3$ 일 때, $a _{3} = 1$

(ⅳ) $k = 4$ 일 때, $a _{4} = 2$

(ⅴ) $k = 5$ 일 때, $a _{5} = 2$

따라서 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5}$$= 2 + 2 + 1 + 2 + 2$$= 9$ [다른 풀이] 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $\displaystyle y = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$의 교점의 개수는 방정식 $\displaystyle f ( x ) = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉, (ⅰ) $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{k}{6} \pi$일 때, $\displaystyle \sin x = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{k}{6} \pi < x \leq 2 \pi$일 때, $\displaystyle 2 \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right) - \sin x$$\displaystyle = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$에서 $\displaystyle \sin x = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$ 그러므로 교점의 개수는 구간 $[ 0 , 2 \pi ]$ 에서 방정식 $\displaystyle \sin x = \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다. $k = 1$, $k = 5$일 때, $\displaystyle \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right) = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$이다. $k = 2$, $k = 4$일 때, $\displaystyle \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$의 서로 다른 실근의 개수는 각각 $2$이다. $k = 3$일 때, $\displaystyle \sin \left( \frac{k}{6} \pi \right) = 1$이므로 $\sin x = 1$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$ 이다. 따라서 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5}$$= 2 + 2 + 1 + 2 + 2$$= 9$