구간별 사인함수

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용해서 삼각함수 추측하기 $\pi < a < 2 \pi$라 하면 함수 $\displaystyle y = \sin x - \frac{1}{2}$의 그래프에서 $\pi < x < a$일 때 $\displaystyle \sin x - \frac{1}{2} < \mathit{-} \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| > \frac{1}{2}$이다. 따라서 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

따라서 $0 < a \leq \pi$이다. $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅰ) $k > 0$인 경우 $a \leq x \leq 2 \pi$에서 함수 $\displaystyle y = k \sin x - \frac{1}{2}$은 $\displaystyle x = \frac{3}{2} \pi$일 때 최솟값 $\displaystyle k \sin \frac{3}{2} \pi - \frac{1}{2}$$\displaystyle = \mathit{-} k - \frac{1}{2}$을 갖는다.

따라서 함수 $\left| f \left( x \right) \right|$의 최댓값은 $\displaystyle k + \frac{1}{2}$이고, $\displaystyle k + \frac{1}{2} > \frac{1}{2}$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $k = 0$인 경우 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} & \left( 0 \leq x < a \right) \\ - \frac{1}{2} & \left( a \leq x \leq 2 \pi \right) \end{cases}}$이고 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 실근의 개수는 $2$ 이하이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅲ) $k < 0$인 경우 $0 < a < \pi$이면 $\sin a > 0$이므로 $f \left( a \right)$$\displaystyle = k \sin a - \frac{1}{2}$$\displaystyle < \mathit{-} \frac{1}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \left| f \left( a \right) \right| > \frac{1}{2}$이고 조건 (가)를 만족시키지 않으므로 ㉠에 의해 $a = \pi$이다. 조건 (나)에 의해 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{3}{2} \pi \right) = 0$이다.

즉 $\displaystyle k \times \left( - 1 \right) - \frac{1}{2} = 0$이므로 $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{1}{2}$이다. 따라서 구하는 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} & \left( 0 \leq x < \pi \right) \\ - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} & \left( \pi \leq x \leq 2 \pi \right) \end{cases}}$ 이다. 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{4}$이 만나는 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 $\alpha _{1} , \alpha _{2} , \alpha _{3} , \alpha _{4} , \alpha _{5} , \alpha _{6}$이라고 하자.

$\displaystyle \frac{\alpha _{1} + \alpha _{4}}{2} = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \frac{\alpha _{2} + \alpha _{3}}{2} = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \frac{\alpha _{5} + \alpha _{6}}{2} = \frac{3 \pi}{2}$이므로 $S$$= \alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} + \alpha _{4} + \alpha _{5} + \alpha _{6}$$= \pi + \pi + 3 \pi$$= 5 \pi$ 이다. 따라서 $\displaystyle 20 \left( \frac{a + S}{\pi} + k \right)$$\displaystyle = 20 \left( \frac{5 \pi + \pi}{\pi} - \frac{1}{2} \right)$$\displaystyle = 20 \times \frac{11}{2}$$= 110$ 이다.