구간 로그방정식

(ⅰ) $\displaystyle 0 < x \leq \frac{1}{3}$인 경우 $0 < x < 3 x \leq 1$이므로 $f \left( x \right) + f \left( 3 x \right)$$\displaystyle = \log _{\frac{1}{3}} x + \log _{\frac{1}{3}} 3 x$$\displaystyle = \log _{\frac{1}{3}} 3 x ^{2} = 3$ $\displaystyle 3 x ^{2} = \frac{1}{27}$ $\displaystyle x = - \frac{1}{9}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{9}$ $\displaystyle 0 < x \leq \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle x = \frac{1}{9}$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{1}{3} < x \leq 1$인 경우 $\displaystyle \frac{1}{3} < x \leq 1 < 3 x$이므로 $f \left( x \right) + f \left( 3 x \right)$$\displaystyle = \log _{\frac{1}{3}} x + \log _{3} 3 x$$\displaystyle = \log _{\frac{1}{3}} x + \log _{3} 3 + \log _{3} x = 1$ 이므로 방정식 $f \left( x \right) + f \left( 3 x \right) = 3$의 실근은 존재하지 않는다. (ⅲ) $x > 1$인 경우 $1 < x < 3 x$이므로 $f \left( x \right) + f \left( 3 x \right)$$= \log _{3} x + \log _{3} 3 x$$= \log _{3} 3 x ^{2} = 3$ $3 x ^{2} = 27$ $x = - 3$ 또는 $x = 3$ $x > 1$이므로 $x = 3$ (ⅰ)$\sim$(ⅲ)에 의하여 방정식 $f \left( x \right) + f \left( 3 x \right) = 3$의 모든 실근은 $\displaystyle \frac{1}{9}$, $3$이고 그 합은 $\displaystyle \frac{28}{9}$