미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

폐구간 [0,1][ 0 , 1 ]에서 0<f(x)<10 < f ( x ) < 1를 만족시키는 다항함수 f(x)f ( x )에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. f(a)=af ( a ) = a인 실수 aa가 개구간 (0,1)( 0 , 1 )에 적어도 하나 존재한다. ㄴ. f′(b)<1f' ( b ) < 1인 실수 bb가 개구간 (0,1)( 0 , 1 )에 적어도 하나 존재한다. ㄷ. 개구간 (0,1)( 0 , 1 )의 모든 xx에 대하여 ∫0xf(t)dt<x\displaystyle \int _{0} ^{x} {} f ( t ) dt < x 이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. f(x)f ( x )와 y=xy = x는 교점이 존재한다. (참) ㄴ. 0<f(0)<1,0<f(1)<10 < f ( 0 ) < 1 , 0 < f ( 1 ) < 1이므로 f′(c)=f(1)−f(0)1−0<1\displaystyle f' ( c ) = \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{1 - 0} < 1인 cc가 존재한다. ㄷ. ∫0xf(t)dt<1×x\displaystyle \int _{0} ^{x} {} f ( t ) dt < 1 \times x(사각형 넓이) (참)

태그

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