구가 지나는 팔분공간

좌표공간은 $xy$평면, $yz$평면, $zx$평면에 의해 다음과 같이 $8$개의 영역으로 나누어진다. ① $x > 0 , y > 0 , z > 0$인 영역, ② $x > 0 , y > 0 , z < 0$인 영역, ③ $x > 0 , y < 0 , z > 0$인 영역, ④ $x > 0 , y < 0 , z < 0$인 영역, ⑤ $x < 0 , y > 0 , z > 0$인 영역, ⑥ $x < 0 , y > 0 , z < 0$인 영역, ⑦ $x < 0 , y < 0 , z > 0$인 영역, ⑧ $x < 0 , y < 0 , z < 0$인 영역, 한편, 주어진 구 $C : ( x + 2 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} + ( z - 4 ) ^{2} = 24$ 의 중심은 $( - 2 , 3 , 4 )$이므로 구 $C$의 중심은 ⑤의 영역에 있다. 따라서 구 $C$는 ⑤의 영역을 지난다. 또, 구의 반지름의 길이 $r$는 $r =$$\displaystyle \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$이고, $| - 2 | < r , 3 < r , 4 < r$이므로 구 $C$는 $yz$평면, $zx$평면, $xy$평면에 의하여 두 부분으로 나누어진다. 따라서 구 $C$는 ①, ⑦, ⑥의 영역을 지난다. 한편, $\displaystyle \sqrt{( - 2 ) ^{2} + 3 ^{2}} < r$이므로 구 $C$는 $z$축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 따라서 ③의 영역을 지난다. 또, $\displaystyle \sqrt{( - 2 ) ^{2} + 4 ^{2}} < r$이므로 구 $C$는 $y$축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 따라서 ②의 영역을 지난다. 하지만, $\displaystyle \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} > r$이므로 구 $C$는 $x$축과 만나지 않는다. 따라서 ⑧의 영역을 지나지 않는다. 또, $\displaystyle \sqrt{( - 2 ) ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2}} > r$이므로 원점의 구 $C$의 외부에 있다. 따라서 ④의 영역을 지나지 않는다. 따라서 구 $C$가 지나는 영역은 ①, ②, ③, ⑤, ⑥, ⑦의 $6$개이다.