구에 내접 정사면체

ㄱ. 직선 AF와 직선 BG는 점 O에서 만난다. (참) ㄴ. 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle \sqrt{3}$이다. 따라서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 $\displaystyle \sqrt{3}$보다 작다. 그런데, 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 정삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( \sqrt{3} ) ^{2} \times \sin 60 ^\circ = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$이므로 정삼각형 ABC의 넓이는 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}$보다 작다. (참) ㄷ. 그림에서 삼각형 AFC와 삼각형 AGO는 닮음꼴이다.

그런데, ∠ACF는 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각의 크기와 같고, ∠ACF=∠AOG이므로 $\displaystyle \cos \theta = \cos ( \angle ACF ) = \frac{1}{3}$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. [다른 풀이] ㄱ. 선분 CD의 중점을 M이라 하면 점 F는 선분 BM 위에 있고, 점 G는 선분 AM 위에 있다. 따라서 5개의 점 A, B, F, G, M은 모두 한 평면 위에 있다. 따라서 직선 AF와 직선 BG는 꼬인 위치에 있지 않다.