구에 접하는 평면

[출제의도] 구의 중심에서 평면에 이르는 거리를 구할 수 있는가? 구 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} + 2 y - 3 = 0$에서 $x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} + z ^{2} = 4$이므로 구의 중심은 $( 0 , - 1 , 0 )$이고 반지름의 길이는 $2$이다. 평면 $x + 8 y - 4 z + k = 0$이 구에 접하므로 구의 중심에서 평면까지의 거리는 구의 반지름과 같다. 이때, 구의 중심 $( 0 , - 1 , 0 )$에서 평면까지의 거리를 구하면 $\displaystyle \frac{\left| - 8 + k \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 8 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}} = \frac{\left| - 8 + k \right|}{9} = 2$ 에서 $| - 8 + k | = 18$ $k - 8 = 18$ 또는 $k - 8 = - 18$이므로 $k = - 10$ 또는 $k = 26$ 따라서 모든 $k$값의 합은 $16$