미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구분구적법과 극소

문제

이차함수 f(x)=x2+mx−8f ( x ) = x ^{2} + mx - 8이 lim⁡n→∞1n∑k=1nf(kn)=lim⁡n→∞1n∑k=1nf(1+kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( \frac{k}{n} \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) 를 만족시킬 때, 함수 g(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {} f ( t ) dt는 x=αx = \alpha에서 극소이다. α\alpha의 값은? (단, mm은 상수이다.) [4점] ①−4- 4②−2- 2③11④22⑤44

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⑤

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해설

∫01f(x)dx=∫01f(1+x)dx=∫12f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx = \int _{0} ^{1} {f ( 1 + x ) dx = \int _{1} ^{2} {f ( x ) dx}}} 이 성립하려면 f(x)f ( x )의 대칭축이 x=1x = 1이어야 한다. ∴m=−2\therefore m = - 2 f(x)=(x−4)(x+2)f ( x ) = ( x - 4 ) ( x + 2 )에서 x=4x = 4까지의 적분값이 최소이고, 극소이다 ∴α=4\therefore \alpha = 4

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