곱의 서로 다른 값

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다. 꺼낸 $3$개의 공에 적힌 수 중 네 수 $0$, $2$, $3$, $5$의 개수를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하자. 세 수의 곱은 $0$ 또는 $2 ^{b} 3 ^{c} 5 ^{d}$이고 $a + b + c + d = 3$ ($a \geq 0$, $b \geq 0$, $c \geq 0$, $d \geq 0$) 이다. ⅰ) $a \ne 0$일 때 세 수의 곱은 항상 $0$이므로 구하는 정수는 $1$개이다. ⅱ) $a = 0$일 때 순서쌍 $\left( b , c , d \right)$가 다르면 $2 ^{b} 3 ^{c} 5 ^{d}$의 값도 다르므로 구하는 정수의 개수는 $b + c + d = 3$을 만족시키는 순서쌍 $\left( b , c , d \right)$의 개수와 같다. 즉, ${} _{3} {\mathrm{H}} _{3} = _{5} {\mathrm{C}} _{3} = 10$이다. 위의 ⅰ), ⅱ)에서 구하는 정수의 개수는 $11$이다.