미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곱의 미분과 수열 극한

문제

두 다항함수 f(x)f \left( x \right), g(x)g \left( x \right)에 대하여 f(1)=2f \left( 1 \right) = 2, f′(1)=3f' \left( 1 \right) = \mathit{3}, g(1)=5g \left( 1 \right) = 5, g′(1)=2g' \left( 1 \right) = 2 일 때, lim⁡n→∞n{f(1+1n)g(1+3n)−f(1)g(1)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \left\{ f \left( 1 + \frac{1}{n} \right) g \left( 1 + \frac{3}{n} \right) - f \left( 1 \right) g \left( 1 \right) \right\}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 미분계수 이해하기 1n=h\displaystyle \frac{1}{n} = h라 하면, n→∞n \rightarrow \infty일 때, h→0+h \rightarrow 0 +이다. (준식)=lim⁡h→0+f(1+h)g(1+3h)−f(1)g(1)h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( 1 + h \right) g \left( 1 + 3 h \right) - f \left( 1 \right) g \left( 1 \right)}{h}} =lim⁡h→0+f(1+h)g(1+3h)−f(1+h)g(1)h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( 1 + h \right) g \left( 1 + 3 h \right) - f \left( 1 + h \right) g \left( 1 \right)}{h}}+lim⁡h→0+f(1+h)g(1)−f(1)g(1)h\displaystyle + \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( 1 + h \right) g \left( 1 \right) - f \left( 1 \right) g \left( 1 \right)}{h}} =3×lim⁡h→0+f(1+h){g(1+3h)−g(1)}3h\displaystyle = 3 \times \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( 1 + h \right) \left\{ g \left( 1 + 3 h \right) - g \left( 1 \right) \right\}}{3 h}}+lim⁡h→0+{f(1+h)−f(1)}g(1)h\displaystyle + \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{\left\{ f \left( 1 + h \right) - f \left( 1 \right) \right\} g \left( 1 \right)}{h}} =3f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=27= 3 f \left( 1 \right) g' \left( 1 \right) + f' \left( 1 \right) g \left( 1 \right) = 27

태그

#미분계수#곱의 미분

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