곱의 미분 극한

[출제의도] 함수의 곱의 미분법을 이용하여 미분계수를 구한다. (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left\{ f ( x ) g ( x ) + 4 \right\}} = 0$ 함수 $f ( x )$와 $g ( x )$가 $x = 1$에서 연속이므로 $f ( 1 ) g ( 1 )$$= \mathit{-} 2 g ( 1 )$$= \mathit{-} 4$에서 $g ( 1 ) = 2$ …… ㉠ $g ( x )$는 일차함수이므로 $g ( x ) = ax + b$라 하면 $g' ( x ) = a$ …… ㉡ (나)에서 $g ( 0 ) = g' ( 0 )$이므로 $b = a$ 그런데 ㉠에서 $a + b = 2$이므로 $a = 1$, $b = 1$ ㉡에서 $g' ( 1 ) = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ) g ( x ) + 4}{x - 1}}$는 함수 $f ( x ) g ( x )$의 $x = 1$에서의 미분계수이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x ) g ( x ) + 4}{x - 1}}$$= f' ( 1 ) g ( 1 ) + f ( 1 ) g' ( 1 )$ 즉, $f' ( 1 ) g ( 1 ) + f ( 1 ) g' ( 1 ) = 2 f' ( 1 ) - 2 = 8$ 따라서 $f' ( 1 ) = 5$