미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곱의 미분 극한

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)에 대하여 함수 g(x)g \left( x \right)를 g(x)=(x2+x)f(x)g \left( x \right) = \left( x ^{2} + x \right) f \left( x \right) 라 하자. lim⁡h→0g(1+h)−4h=9\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{g \left( 1 + h \right) - 4}{h} = 9일 때, f(1)×f′(1)f \left( 1 \right) \times f' \left( 1 \right)의 값은? [4점] ①33②92\displaystyle \frac{9}{2}③66④152\displaystyle \frac{15}{2}⑤99

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①

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해설

lim⁡h→0g(1+h)−4h=9\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{g \left( 1 + h \right) - 4}{h} = 9이고 lim⁡h→0h=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} h = 0이므로 lim⁡h→0(g(1+h)−4)=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \left( g \left( 1 + h \right) - 4 \right) = 0 함수 g(x)=(x2+x)f(x)g \left( x \right) = \left( x ^{2} + x \right) f \left( x \right)가 다항함수이므로 lim⁡h→0(g(1+h)−4)=g(1)−4=0\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \left( g \left( 1 + h \right) - 4 \right) = g \left( 1 \right) - 4 = 0에서 g(1)=2f(1)=4g \left( 1 \right) = 2 f \left( 1 \right) = 4, f(1)=2f \left( 1 \right) = 2 lim⁡h→0g(1+h)−4h=lim⁡h→0g(1+h)−g(1)h=g′(1)\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{g \left( 1 + h \right) - 4}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{g \left( 1 + h \right) - g \left( 1 \right)}{h} = g' \left( 1 \right)이므로 g′(1)=9g' \left( 1 \right) = 9 또한 g′(x)=(2x+1)f(x)+(x2+x)f′(x)g' \left( x \right) = \left( 2 x + 1 \right) f \left( x \right) + \left( x ^{2} + x \right) f' \left( x \right)에서 g′(1)=3f(1)+2f′(1)=6+2f′(1)g' \left( 1 \right) = 3 f \left( 1 \right) + 2 f' \left( 1 \right) = 6 + 2 f' \left( 1 \right)이므로 f′(1)=32\displaystyle f' \left( 1 \right) = \frac{3}{2} 따라서 f(1)×f′(1)=2×32=3\displaystyle f \left( 1 \right) \times f' \left( 1 \right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3

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