곱의 자릿수

[출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 묻는 문제이다. $A = ( 5 + 1 ) ( 5 ^{2} + 1 ) ( 5 ^{4} + 1 ) ( 5 ^{8} + 1 ) ( 5 ^{16} + 1 )$에서 $4 A = ( 5 - 1 ) ( 5 + 1 ) ( 5 ^{2} + 1 ) ( 5 ^{4} + 1 ) ( 5 ^{8} + 1 ) ( 5 ^{16} + 1 )$ $= 5 ^{32} - 1$ $\log 5 ^{32}$$=$$32 \log 5 = 32 ( 1 - \log 2 )$$= 22.368$이므로 $5 ^{32}$은 $23$자리 자연수이다. 그런데 $5 ^{32}$의 일의 자리의 수가 5이므로 $5 ^{32}$의 자릿수와 $5 ^{32} - 1$의 자릿수는 같다. 따라서 $5 ^{32} - 1$은 $23$자리 자연수이다.