곱셈에 닫힌 세 원소 집합의 미지수

$n ( A ) = 3$이므로 $k \ne - 1$, $k \ne 1$이다. 집합 $A$가 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로 $( - 1 ) \times k = - k \in A$이다. $- k = - 1$이면 $k = 1$, $- k = 1$이면 $k = - 1$이므로 조건에 맞지 않는다. 따라서 $- k = k$, 즉 $k = 0$이다. $k = 0$일 때 $A = \left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}$이고 어떤 두 원소의 곱도 $- 1$, $0$, $1$ 중 하나이므로 $A$는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 따라서 $k = 0$이다. ②