곱이 일정한 순서쌍

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 증명한다. $a = 2 ^{x _{1}} \times 3 ^{y _{1}}$, $b = 2 ^{x _{2}} \times 3 ^{y _{2}}$, $c = 2 ^{x _{3}} \times 3 ^{y _{3}}$, $d = 2 ^{x _{4}} \times 3 ^{y _{4}}$ 이라 하면 $x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = n$, $y _{1} + y _{2} + y _{3} + y _{4} = n$ (단, $i = 1$, $2$, $3$, $4$에 대하여 $x _{i}$, $y _{i}$는 음이 아닌 정수) 이다. 이때 $a + b + c + d$가 짝수이므로 $a$, $b$, $c$, $d$가 모두 짝수이거나 $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 $2$개만 짝수이다. (ⅰ) $a$, $b$, $c$, $d$가 모두 짝수인 경우 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$, $x _{4}$가 모두 자연수이고 $y _{1}$, $y _{2}$, $y _{3}$, $y _{4}$는 음이 아닌 정수이므로 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} , y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} \right)$의 개수는 ${} _{4} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{\square {{}^{} n - 4 _{}}}}} \times _{4} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{n}}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅱ) $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 $2$개만 짝수인 경우 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$, $x _{4}$ 중에서 자연수가 $2$개이고 $0$이 $2$개이므로 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} \right)$의 개수는 ${} _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \times {\square {{}_{2} ^{} \mathrm{H} _{\mathit{n} - 2 _{}}}}$ 이다. 이때 $a$, $b$, $c$, $d$ 중 홀수인 두 수는 $1$이 될 수 없으므로 순서쌍 $\left( y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} \right)$의 개수는 ${} _{4} {\mathrm{H}} _{\square {{}^{} \mathit{n} - 2 _{}}}$ 이다. 따라서 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} , y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} \right)$의 개수는 ${} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{2}} \times {\square {{}_{2} ^{} {\mathrm{H}} _{\mathit{n} - 2} {}_{}}} \times {} _{4} {\mathrm{H}} _{\square {{}^{} \mathit{n} - 2 _{}}}$ $\cdots \cdots$ ㉡ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $\text{㉠} + \text{㉡}$이다. 따라서 $f ( n ) = n - 4$, $g ( n ) = _{2} {\mathrm{H}} _{n - 2}$, $h ( n ) = n - 2$ $f ( 6 )$$= 6 - 4$$= 2$, $g ( 7 )$$= _{2} {\mathrm{H}} _{5}$$= _{6} {\mathrm{C}} _{1}$$= 6$, $h ( 8 )$$= 8 - 2$$= 6$ 이므로 $f ( 6 ) + g ( 7 ) + h ( 8 )$$= 2 + 6 + 6$$= 14$이다.