곱이 144인 순서쌍

조건 (가)에서 $144 = 2 ^{4} \times 3 ^{2}$이므로 자연수 $a$, $b$, $c$를 $a = 2 ^{x _{1}} \times 3 ^{y _{1}}$, $b = 2 ^{x _{2}} \times 3 ^{y _{2}}$, $c = 2 ^{x _{3}} \times 3 ^{y _{3}}$이라 하면 $a \times b \times c = 2 ^{x _{1} + x _{2} + x _{3}} \times 3 ^{y _{1} + y _{2} + y _{3}} = 2 ^{4} \times 3 ^{2}$에서 $x _{1} + x _{2} + x _{3} = 4$, $y _{1} + y _{2} + y _{3} = 2$이다. 조건 (나)에서 $x _{1} \geq 1$이므로 $x _{1} ^{'} = x _{1} - 1 \geq 0$이라 하면 $x _{1} ^{'} + x _{2} + x _{3} = 3$이다. $x _{1} ^{'} + x _{2} + x _{3} = 3$의 음이 아닌 정수해의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}} = \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{3}} = 10$ $y _{1} + y _{2} + y _{3} = 2$의 음이 아닌 정수해의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} = \mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 6$ 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $10 \times 6 = 60$