곱이 108인 순서쌍

[출제의도] 같은 것이 있는 순열 이해하기 $108 = 2 ^{2} \times 3 ^{3}$이므로 조건을 만족시키는 $a$, $b$, $c$, $d$ 중 $\mathrm{2}$개의 수가 서로 같거나 $\mathrm{3}$개의 수가 서로 같아야 한다. (ⅰ) $\mathrm{2}$개의 수가 서로 같은 경우 $108 = 2 \times 2 \times 3 \times 9 = 3 \times 3 \times 2 \times 6 = 6 \times 6 \times 1 \times 3$의 $\mathrm{3}$가지이다. 이 각각에 대하여 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 곱해진 $\mathrm{4}$개의 수를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} = 12$ 그러므로 구하는 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $3 \times 12 = 36$ (ⅱ) $\mathrm{3}$개의 수가 서로 같은 경우 $108 = 3 \times 3 \times 3 \times 4$의 $1$가지이다. 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $3$, $3$, $3$, $4$를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{4 !}{3 !} = 4$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 $36 + 4 = 40$