미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곱과 몫의 로그미분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 g(x)=f(x)cos⁡xex\displaystyle g ( x ) = \frac{f ( x ) \cos x}{e ^{x}} 라 하자. g′(π)=eπg(π)g' ( \pi ) = e ^{\pi} g ( \pi ) 일 때, f′(π)f(π)\displaystyle \frac{f' ( \pi )}{f ( \pi )}의 값은? (단, f(π)≠0f ( \pi ) \neq 0) [4점] ①e−2πe ^{- 2 \pi}②11③e−π+1e ^{- \pi} + 1④eπ+1e ^{\pi} + 1⑤e2πe ^{2 \pi}

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? g(x)=f(x)cos⁡xex\displaystyle g ( x ) = \frac{f ( x ) \cos x}{e ^{x}}의 양변에 자연로그를 취하면 ln⁡∣g(x)∣=ln⁡∣f(x)∣+ln⁡∣cos⁡x∣−ln⁡ex\ln \left| g ( x ) \right| = \ln \left| f ( x ) \right| + \ln \left| \cos x \right| - \ln e ^{x} =ln⁡∣f(x)∣+ln⁡∣cos⁡x∣−x= \ln \left| f ( x ) \right| + \ln \left| \cos x \right| - x 위 등식의 양변을 xx에 대하여 미분하면 g′(x)g(x)=f′(x)f(x)+−sin⁡xcos⁡x−1\displaystyle \frac{g' ( x )}{g ( x )} = \frac{f' ( x )}{f ( x )} + \frac{- \sin x}{\cos x} - 1 위 등식에 x=πx = \pi를 대입하면 g′(π)g(π)=f′(π)f(π)+−sin⁡πcos⁡π−1\displaystyle \frac{g' ( \pi )}{g ( \pi )} = \frac{f' ( \pi )}{f ( \pi )} + \frac{- \sin \pi}{\cos \pi} - 1이고, g′(π)g(π)=eπ\displaystyle \frac{g' ( \pi )}{g ( \pi )} = e ^{\pi}이므로 f′(π)f(π)=eπ+1\displaystyle \frac{f' ( \pi )}{f ( \pi )} = e ^{\pi} + 1

태그

#로그미분법#곱의 미분법

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