곱과 크기 조건으로 정해지는 함숫값의 합

실마리: (가)에서 $f ( 1 ) f ( 8 ) = f ( 2 ) f ( 7 ) = f ( 3 ) f ( 6 ) = f ( 4 ) f ( 5 ) = 128$이므로 모든 함숫값은 $128 = 2 ^{7}$의 약수이고, (나)에서 각 짝의 앞쪽 값이 작다. $128$의 약수는 $1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128$이다. (나)에서 $f ( 4 ) < f ( 5 )$이고 $f ( 4 ) f ( 5 ) = 128$이므로 $f ( 4 ) ^{2} < 128$, 즉 $f ( 4 ) \leq 8$이다. 또 (나)에서 $f ( 1 ) < f ( 2 ) < f ( 3 ) < f ( 4 ) \leq 8$이므로 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$는 $8$ 이하인 $128$의 약수 $1 , 2 , 4 , 8$ 중에서 서로 다른 네 개이다. $8$ 이하인 약수가 정확히 네 개이므로 $f ( 1 ) = 1$, $f ( 2 ) = 2$, $f ( 3 ) = 4$, $f ( 4 ) = 8$ (가)에서 $\displaystyle f ( 5 ) = \frac{128}{8} = 16$, $\displaystyle f ( 6 ) = \frac{128}{4} = 32$, $\displaystyle f ( 7 ) = \frac{128}{2} = 64$, $\displaystyle f ( 8 ) = \frac{128}{1} = 128$ 이때 $1 < 2 < 4 < 8 < 16 < 32 < 64 < 128$이므로 (나)도 만족시킨다. (검산) $f ( 4 )$가 $4$ 이하이면 $f ( 1 ) < f ( 2 ) < f ( 3 ) < f ( 4 )$인 약수 넷을 $4$ 이하에서 고를 수 없고, $f ( 4 ) \geq 16$이면 $f ( 5 ) > f ( 4 ) \geq 16$에서 $f ( 4 ) f ( 5 ) > 128$이므로 다른 함수는 없다. 따라서 $f ( 1 ) + f ( 2 ) + \cdots + f ( 8 ) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255$