대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곱 점화식의 일반항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1이고, an+1=n+1+(n−1)!a1a2⋯an(n≥1)\displaystyle a _{n + 1} = n + 1 + \frac{\left( n - 1 \right) !}{a _{1} a _{2} \cdots a _{n}} ( n \geq 1 ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정의 일부이다. 모든 자연수 nn에 대하여 a1a2⋯anan+1=a1a2⋯an×(n+1)+(n−1)!a _{1} a _{2} \cdots a _{n} a _{n + 1} = a _{1} a _{2} \cdots a _{n} \times \left( n + 1 \right) + \left( n - 1 \right) ! 이다. bn=a1a2⋯ann!\displaystyle b _{n} = \frac{a _{1} a _{2} \cdots a _{n}}{n !} 이라 하면, b1=1b _{1} = 1이고 bn+1=bn+□(가)b _{n + 1} = b _{n} + \square {( \text{가} )} 이다. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 일반항을 구하면 bn=□(나)b _{n} = \square {\left. \left( \text{나} \right. \right)} 이므로 a1a2⋯ann!=□(나)\displaystyle \frac{a _{1} a _{2} \cdots a _{n}}{n !} = \square {\left( \text{나} \right)} 이다. ⋮\vdots 따라서 a1=1a _{1} = 1이고, an=(n−1)(2n−1)2n−3(n≥2)\displaystyle a _{n} = \frac{\left( n - 1 \right) \left( 2 n - 1 \right)}{2 n - 3} \left( n \geq 2 \right) 이다.

위의 (가)( \text{가} )에 알맞은 식을 f(n)f \left( n \right), (나)\left( \text{나} \right)에 알맞은 식을 g(n)g \left( n \right)이라 할 때, f(13)×g(7)f \left( 13 \right) \times g \left( 7 \right)의 값은? [4점] ①170\displaystyle \frac{1}{70}②177\displaystyle \frac{1}{77}③184\displaystyle \frac{1}{84}④191\displaystyle \frac{1}{91}⑤198\displaystyle \frac{1}{98}

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⑤

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해설

bn+1=a1a2⋯an+1(n+1)!=a1a2⋯an×(n+1)+(n−1)!(n+1)!\displaystyle b _{n + 1} = \frac{a _{1} a _{2} \cdots a _{n + 1}}{( n + 1 ) !} = \frac{a _{1} a _{2} \cdots a _{n} \times \left( n + 1 \right) + \left( n - 1 \right) !}{\left( n + 1 \right) !} =a1a2⋯ann!+1n(n+1)\displaystyle = \frac{a _{1} a _{2} \cdots a _{n}}{n !} + \frac{1}{n \left( n + 1 \right)} ∴(가)=f(n)=1n(n+1)\displaystyle \therefore \left( \text{가} \right) = f \left( n \right) = \frac{1}{n \left( n + 1 \right)} bnb _{n}을 구하면 bn=b1+∑k=1n−11k(k+1)=a11!+∑k=1n−1(1k−1k+1)\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{k \left( k + 1 \right)} = \frac{a _{1}}{1 !} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right) =1+(11−1n)=2n−1n\displaystyle = 1 + \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{n} \right) = \frac{2 n - 1}{n} ∴(나)=g(n)=2n−1n\displaystyle \therefore \left( \text{나} \right) = g \left( n \right) = \frac{2 n - 1}{n} 따라서 f(13)×g(7)=113∙14×137=198\displaystyle f \left( 13 \right) \times g \left( 7 \right) = \frac{1}{13 \bullet 14} \times \frac{13}{7} = \frac{1}{98}

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