공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

공의 체공시간과 높이

문제

공을 지표면 위에서 수직으로 던져 올렸을 때, 이 공이 던져진 순간부터 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간을 $t$ 초, 공의 최고 높이를 $h \mathrm{m}$ 라 하면 $t$ 와 $h$ 사이에는 $\displaystyle h = \frac{1}{2} gt ^{2}$ (단, $g$ 는 중력가속도) 인 관계가 있다고 한다. 이때 공이 던져진 순간부터 다시 땅에 떨어질 때까지 걸린 시간 $2 t$ 초를 이 공의 체공시간이라고 한다. 두 개의 공 $A$ , $B$ 를 지표면 위에서 수직으로 던져 올렸을 때, 공 $B$ 의 체공시간은 공 $A$ 의 체공시간의 $2$ 배이었다. 공 $A$ 의 최고 높이가 $15 \mathrm{m}$ 이었을 때, 공 $B$ 의 최고 높이는 몇 $\mathrm{m}$ 인지 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 이차방정식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. 두 공 $A , B$ 가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간을 각각 $t _{1} , t _{2}$ 라 하면 $A , B$ 의 체공시간은 각각 $2 t _{1} , 2 t _{2}$ 이다. $B$ 의 최고 높이를 $x$ 라 하면 주어진 조건에 의해 $\displaystyle 15 = \frac{1}{2} g t _{1} ^{2}$ … ㉠ $\displaystyle x = \frac{1}{2} g t _{2} ^{2}$ … ㉡㉠ 에서 $\displaystyle t _{1} = \sqrt{\frac{30}{g}}$ 이고 $2 t _{2} = 4 t _{1}$ 에서 $\displaystyle t _{2} = 2 t _{1} = 2 \sqrt{\frac{30}{g}}$ 이므로 이를 ㉡ 에 대입하면 $\displaystyle x = \frac{1}{2} g \left( 2 \sqrt{\frac{30}{g}} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} g \left( \frac{120}{g} \right)$ $= 60$

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