미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

공통접선 상수

문제

곡선 $y = x ^{3} - 4 x + 5$ 위의 점 $( 1 , 2 )$ 에서의 접선이 곡선 $y = x ^{4} + 3 x + a$ 에 접할 때, 상수 $a$ 의 값은? [3점] ① $\mathrm{6}$ ② $\mathrm{7}$ ③ $\mathrm{8}$ ④ $\mathrm{9}$ ⑤ $\mathrm{10}$

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①

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해설

$y' = 3 x ^{2} - 4$ 에 $x = 1$ 을 대입하면, $- 1$ 접선 방정식 $y = - ( x - 1 ) + 2 = - x + 3$ 이 $y = x ^{4} + 3 x + a$ 에 접하므로 $f ( \alpha ) = g ( \alpha ) , f' ( \alpha ) = g' ( \alpha )$ $\displaystyle \begin{cases} 4 \alpha ^{3} + 3 = - 1 \\ - \alpha + 3 = \alpha ^{4} + 3 \alpha + a \end{cases}$ $\alpha = - 1$ 이므로 $1 + 3 = 1 - 3 + a , a = 6$

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