공통접선

$f ( x ) = x ^{3} - 10$, $g ( x ) = x ^{3} + k$라 하자. $f' ( x ) = 3 x ^{2}$이므로 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 ${\mathrm{P}} \mathit{(} - 2 , - 18 )$에서의 접선의 기울기는 $f' ( - 2 ) = 12$ 접선의 방정식은 $y - \left( - 18 \right) = 12 \left\{ x - \left( - 2 \right) \right\}$, $y = 12 x + 6$ 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표를 $\left( \alpha , \alpha ^{3} + k \right)$라 하자. (단, $\alpha$는 상수) $g' ( x ) = 3 x ^{2}$이므로 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 ${\mathrm{Q}} \mathit{\left( \alpha , \alpha ^{3} + k \right)}$에서의 접선의 기울기는 $g' \left( \alpha \right) = 3 \alpha ^{2}$ 접선의 방정식은 $y - \left( \alpha ^{3} + k \right) = 3 \alpha ^{2} \left( x - \alpha \right)$, $y = 3 \alpha ^{2} x - 2 \alpha ^{3} + k$ 두 접선이 일치하므로 $3 \alpha ^{2} = 12$, $- 2 \alpha ^{3} + k = 6$ $\alpha = 2$이면 $k = 22$, $\alpha = - 2$이면 $k = - 10$ $k > 0$이므로 $k = 22$