공장 생산 시간

A, B 공장에서 1시간에 생산하는 자동차의 대수를 각각 $a , b$라 하자. A공장과 B공장을 동시에 가동하여 50대를 생산하는 데 6시간이 걸리므로 $\displaystyle \frac{50}{a + b} = 6$ ⋯ ㉠ 한편, A공장만 가동하여 50대를 생산하는데 걸리는 시간은 $\displaystyle \frac{50}{a}$이므로 B공장만 가동하여 50대를 생산하는데 걸리는 시간은 $\displaystyle \frac{50}{b} = \frac{50}{a} + 5$ ∴ $\displaystyle \frac{10}{b} = \frac{10}{a} + 1$ ⋯ ㉡ ㉠에서 $\displaystyle a + b = \frac{25}{3}$이므로 $\displaystyle b = \frac{25}{3} - a$$\displaystyle = \frac{25 - 3 a}{3}$ 를 ㉡에 대입하여 정리하면 $\displaystyle \frac{30}{25 - 3 a} - \frac{10}{a} = 1$ $\displaystyle \frac{30 a - 10 ( 25 - 3 a )}{a ( 25 - 3 a )} = 1$ $60 a - 250 = - 3 a ^{2} + 25 a$ (단, $a \ne 0$, $\displaystyle a \ne \frac{25}{3}$) $3 a ^{2} + 35 a - 250 = 0$ $( 3 a + 50 ) ( a - 5 ) = 0$ ∴ $a = 5$ (∵ $a > 0$) 따라서 A공장만 가동하여 자동차 50대를 생산하는 데 걸리는 시간은 $\displaystyle x = \frac{50}{a} = 10$