공간벡터 크기 최댓값

[출제의도] 공간벡터의 성분과 내적을 이용하여 벡터의 크기에 대한 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$가 중심이고 반지름의 길이가 $2$인 구 위의 임의의 점이므로 $\mathrm{\left| {\vec{PQ}} \right|}$$= \mathrm{\left| {\vec{PA}} + {\vec{AQ}} \right|}$$\mathrm{\leq} \left| {\vec{PA}} \right| + \left| {\vec{AQ}} \right|$$= 2 + \left| {\vec{\mathrm{A} Q}} \right|$ 따라서 $\mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|}$가 최대일 때 $\mathrm{\left| {\vec{PQ}} \right|}$도 최대가 되므로 $\mathrm{\vec{PA}}$와 $\mathrm{\vec{AQ}}$는 평행하다. 점 Q의 좌표를 $\left( x , y , z \right)$라 하면 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 $\mathrm{\vec{BC}} = {\vec{OC}} - {\vec{OB}}$$\displaystyle = \left( 1 , \sqrt{3} , 0 \right)$ $\mathrm{\vec{CQ}} = {\vec{OQ}} - {\vec{OC}}$$= \left( x - 3 , y , z \right)$이므로 $\mathrm{\left| {\vec{CQ}} \right|} ^{2}$$= \left( x - 3 \right) ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 12$ $\mathrm{\vec{BC}} \cdot {\vec{CQ}}$$\displaystyle = \left( 1 , \sqrt{3} , 0 \right) \cdot \left( x - 3 , y , z \right)$ $\displaystyle = \left( x - 3 \right) + \sqrt{3} y + 0 = 6$ 따라서 점 $\mathrm{Q}$는 구 $\left( x - 3 \right) ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 12$와 평면 $\displaystyle x + \sqrt{3} y - 9 = 0$이 만나서 생기는 원 위의 점이다. 이 원을 $C$, 원 $C$의 중심을 $\mathrm{D}$라 하자. 두 벡터 $\mathrm{\vec{BC}}$, $\mathrm{\vec{CQ}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\mathrm{\vec{BC}} \cdot {\vec{CQ}}$$= \mathrm{\left| {\vec{BC}} \right|} \left| {\vec{CQ}} \right| \cos \theta$에서 $\displaystyle 6 = 2 \times 2 \sqrt{3} \times \cos \theta$ 이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$이고 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$이다. $\mathrm{\vec{CD}}$는 평면 $\displaystyle x + \sqrt{3} y - 9 = 0$의 법선벡터 $\mathrm{\vec{BC}}$와 평행하고 $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{CD}} \right|} = \left| {\vec{CQ}} \right| \cos \theta = 2 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\vec{CD}} = \frac{3}{2} {\vec{BC}} = \left( \frac{3}{2} , \frac{3 \sqrt{3}}{2} , 0 \right)$, $\mathrm{\vec{OD}} = {\vec{OC}} + {\vec{CD}}$$\displaystyle = \left( \frac{9}{2} , \frac{3 \sqrt{3}}{2} , 0 \right)$ 점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\displaystyle x + \sqrt{3} y - 9 = 0$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{AH}} \right|} = \frac{\left| - 1 + 0 - 9 \right|}{\sqrt{1 + 3}} = 5$이고, $\mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|} ^{2}$$= \left| {\vec{\mathrm{A} H}} \right| ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{H} Q}} \right| ^{2}$$= 25 + \left| {\vec{\mathrm{HQ}}} \right| ^{2}$이므로 $\mathrm{\left| {\vec{HQ}} \right|}$가 최대일 때 $\mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|}$도 최대가 된다. $\mathrm{\left| {\vec{HQ}} \right|}$가 최대인 경우는 직선 $\mathrm{HQ}$가 원 $C$의 중심 $\mathrm{D}$를 지날 때이고 이때 점 $\mathrm{Q}$의 위치를 $\mathrm{Q}'$이라 하면 $\mathrm{\left| {\vec{HQ'}} \right|} = \left| {\vec{HD}} \right| + \left| {\vec{DQ'}} \right|$

$\displaystyle \mathrm{\vec{AD}} = \left( \frac{11}{2} , \frac{3 \sqrt{3}}{2} , - 6 \right)$에서 $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{HD}} \right|} = \sqrt{\left| {\vec{AD}} \right| ^{2} - \left| {\vec{AH}} \right| ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{73 - 25} = 4 \sqrt{3}$이고, $\left| {\vec{\mathrm{DQ}'}} \right|$은 원 $C$의 반지름의 길이 $\displaystyle \sqrt{3}$과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{HQ'}} \right|} = \left| {\vec{HD}} \right| + \left| {\vec{DQ'}} \right| = 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$ $\mathrm{\left| {\vec{AQ'}} \right|} ^{2} = \left| {\vec{AH}} \right| ^{2} + \left| {\vec{HQ'}} \right| ^{2}$$= 25 + 75 = 100$ 따라서 $\mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|}$의 최댓값은 $10$이고, $\mathrm{\left| {\vec{PQ}} \right|}$의 최댓값은 $12$이다.