공간 정사영 넓이

[출제의도] 닮음 도형을 이용하여 정사영 문제를 해결한다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{A} C} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A} C} \perp \overline{\mathrm{B} C}$ 이므로 평면 $\mathrm{A} BC$와 $xy$평면이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{4}{5}$이다. 두 직각삼각형 $\mathrm{A} BC$, $\mathrm{P} BH$는 서로 닮은 도형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} : \overline{\mathrm{BC}} =$$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 5$ $\displaystyle \overline{\mathrm{B} H} = \frac{3}{5} \overline{\mathrm{B} C} = 3$ ∴ $\displaystyle \triangle \mathrm{PBH} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{P} BH$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle S = \triangle \mathrm{PBH} \cdot \cos \theta = \frac{9}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{18}{5}$ [다른 풀이] 점 $\mathrm{P}$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{P} D} \perp$($xy$평면), $\displaystyle \overline{\mathrm{P} H} \perp \overline{\mathrm{B} C}$이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{D} H} \perp \overline{\mathrm{B} C}$이다. 따라서 두 직각삼각형 $\mathrm{A} BC$, $\mathrm{P} BH$는 서로 닮은 도형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} C} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{P} H} = 3$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} : \overline{\mathrm{BC}} =$$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 5$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{B} H} = \frac{3}{5} \overline{\mathrm{B} C} = 3$ 또, 두 직각삼각형 $\mathrm{O} BC$, $\mathrm{DBH}$는 서로 닮은 도형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = 4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = 3$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}} : \overline{\mathrm{OC}} =$$\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} : \overline{\mathrm{BC}} = 3 : 5$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}} = \frac{3}{5} \overline{\mathrm{OC}} = \frac{12}{5}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{P} BH$의 $xy$평면 위로의 정사영인 삼각형 $\mathrm{D} BH$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{B} H} \cdot \overline{\mathrm{D} H} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{12}{5}$$\displaystyle = \frac{18}{5}$ 이다.