공간 벡터 최대 최소

$\vec{\mathrm{OB}} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = 0$이므로 $\mathrm{P}$는 $xy$평면 위의 점이다. $\left| \vec{\mathrm{OP}} \right| \leq 4$이므로 $\mathrm{P}$의 자취는 $x ^{2} + y ^{2} \leq 4 , z = 0$이고, $\left| \vec{\mathrm{PQ}} \right| = 1$이므로 $\mathrm{Q}$는 $\left( x , y , 0 \right)$을 중심으로 하고 반지름이 $1$인 구위의 점이다. $\vec{\mathrm{PQ}}$와 $\vec{\mathrm{OA}}$가 이루는 각을 $\theta$ 라 하면, $\displaystyle \vec{\mathrm{PQ}} \cdot \vec{\mathrm{OA}} = \left| \vec{\mathrm{PQ}} \right| \left| \vec{\mathrm{OA}} \right| \cos \theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\displaystyle \cos \theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. ⅰ) $\left| \vec{\mathrm{BQ}} \right| = \left| \vec{\mathrm{BP}} + \vec{\mathrm{PQ}} \right| \leq \left| \vec{\mathrm{BP}} \right. | + \left| \vec{\mathrm{PQ}} \right|$ (단, 등호는 세 점 $\mathrm{B} , P , Q$가 일직선에 있을 때 성립한다.)

이때 점 $\mathrm{P} ( 4 , 0 , 0 )$이고 $\vec{\mathrm{PQ}}$와 $\vec{\mathrm{OA}}$가 이루는 각을 $\theta _{1}$이라 하면 $\vec{\mathrm{BP}}$와 $\vec{\mathrm{OA}}$가 이루는 각도 $\theta _{1}$이므로 $\displaystyle \cos \theta _{1} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$이므로 $\displaystyle \cos \theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$의 조건을 만족한다. $\therefore$최댓값 $\displaystyle M = \left| \vec{\mathrm{BP}} \right| + 1 = 2 \sqrt{5} + 1$ ⅱ) 점 $\mathrm{P}$가 $xy$평면 위의 점이고 $\displaystyle \cos \theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\vec{PQ}$가 $\vec{OA}$가 이루는 각이 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$이하여야 한다. 따라서 점 $\mathrm{Q}$의 $z$좌표는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이하이다. 점 $\mathrm{B}$가 $z$축 위의 점이므로 $\mathrm{| \vec{BQ} |}$를 최소로 하는 $\mathrm{Q}$를 $\mathrm{Q}''$이라 하면 $\mathrm{Q}''$은 $z$축 위에 있으면서 $z$좌표가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 점이다.

이 때 점 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( - \frac{\sqrt{3}}{2} , 0 , 0 \right)}$이고 $\displaystyle \left| \vec{\mathrm{BQ}''} \right| = \frac{3}{2}$이다. $\displaystyle \therefore M + m = 2 \sqrt{5} + 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} + 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle a = \frac{5}{2} , b = 2$ 이므로 $\displaystyle \therefore 6 ( a + b ) = 6 \times \frac{9}{2} = 27$