공을 상자에 넣기

(ⅰ) 세 상자에 들어가는 흰 공의 개수가 $4$, $0$, $0$인 경우 흰 공의 개수가 $4$인 상자에 들어가는 검은 공의 개수를 $x$, 나머지 두 상자에 들어가는 검은 공의 개수를 각각 $y$, $z$라 하면 $x + y + z = 6$에서 $x \geq 0$, $y \geq 2$, $z \geq 2$이어야 한다. $y - 2 = y'$, $z - 2 = z'$이라 하면 $x + y' + z' = 2$ (단, $x$, $y'$, $z'$은 음이 아닌 정수) 만족시키는 순서쌍 $( x , y' , z' )$의 개수는 ${}_{3{\mathrm{H}}_{2}} = _{4{\mathrm{C}}_{2}} = 6$ 이 각각에 대하여 흰 공이 $4$개 들어갈 상자를 택하는 경우의 수가 ${}_{3{\mathrm{C}}_{1}} = 3$이므로 이 경우의 수는 $6 \times 3 = 18$ (ⅱ) 세 상자에 들어가는 흰 공의 개수가 $3$, $1$, $0$인 경우 흰 공의 개수가 $3$, $1$, $0$인 상자에 들어가는 검은 공의 개수를 각각 $x$, $y$, $z$라 하면 $x + y + z = 6$에서 $x \geq 0$, $y \geq 1$, $z \geq 2$이어야 한다. $y - 1 = y'$, $z - 2 = z'$이라 하면 $x + y' + z' = 3$ (단, $x$, $y'$, $z'$은 음이 아닌 정수) 만족시키는 순서쌍 $( x , y' , z' )$의 개수는 ${}_{3{\mathrm{H}}_{3}} = _{5{\mathrm{C}}_{3}} = 10$ 이 각각에 대하여 흰 공이 $3$개, $1$개 들어갈 상자 $2$개를 택하는 경우의 수는 ${}_{3{\mathrm{P}}_{2}} = 6$이므로 이 경우의 수는 $10 \times 6 = 60$ (ⅲ) 세 상자에 들어가는 흰 공의 개수가 $2$, $2$, $0$인 경우 흰 공의 개수가 $2$, $2$, $0$인 상자에 들어가는 검은 공의 개수를 각각 $x$, $y$, $z$라 하면 $x + y + z = 6$에서 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 2$이어야 한다. $z - 2 = z'$이라 하면 $x + y + z' = 4$ (단, $x$, $y$, $z'$은 음이 아닌 정수) 만족시키는 순서쌍 $( x , y , z' )$의 개수는 ${}_{3{\mathrm{H}}_{4}} = _{6{\mathrm{C}}_{4}} = 15$ 이 각각에 대하여 흰 공이 $2$개 들어갈 상자 $2$개를 택하는 경우의 수는 ${}_{3{\mathrm{C}}_{2}} = 3$이므로 이 경우의 수는 $15 \times 3 = 45$ (ⅳ) 세 상자에 들어가는 흰 공의 개수가 $2$, $1$, $1$인 경우 흰 공의 개수가 $2$, $1$, $1$인 상자에 들어가는 검은 공의 개수를 각각 $x$, $y$, $z$라 하면 $x + y + z = 6$에서 $x \geq 0$, $y \geq 1$, $z \geq 1$이어야 한다. $y - 1 = y'$, $z - 1 = z'$이라 하면 $x + y' + z' = 4$ (단, $x$, $y'$, $z'$은 음이 아닌 정수) 만족시키는 순서쌍 $( x , y' , z' )$의 개수는 ${}_{3{\mathrm{H}}_{4}} = _{6{\mathrm{C}}_{4}} = 15$ 이 각각에 대하여 흰 공이 $2$개 들어갈 상자 $1$개를 택하는 경우의 수는 ${}_{3{\mathrm{C}}_{1}} = 3$이므로 이 경우의 수는 $15 \times 3 = 45$ (ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는 $18 + 60 + 45 + 45 = 168$