공 뽑기로 상자 판단 오류

상자 $\mathrm{A}$에는 빨간 공 $1$개, 흰 공 $2$개가 들어 있고, 상자 $\mathrm{B}$에는 빨간 공 $2$개, 흰 공 $1$개가 들어 있다. 갑은 을이 모르게 두 상자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 중에서 하나를 선택한 후, 그 상자에서 공을 한 번에 한 개씩 복원추출로 $5$번 꺼내었다. 을은 갑이 꺼낸 공에서 빨간 공이 나온 횟수를 세어 갑이 어느 상자를 선택하였는지 다음과 같은 방법으로 판단하기로 하였다.

(가) 빨간 공이 $3$회 이하 나온 경우 ‘갑이 상자 $\mathrm{A}$를 선택하였다.’라고 판단한다. (나) 빨간 공이 $4$회 이상 나온 경우 ‘갑이 상자 $\mathrm{B}$를 선택하였다.’라고 판단한다.

갑이 상자 $\mathrm{B}$를 선택하였을 때, 을의 판단이 틀릴 확률은? [4점] ①$\displaystyle \frac{232}{3 ^{5}}$②$\displaystyle \frac{64}{3 ^{4}}$③$\displaystyle \frac{131}{3 ^{5}}$④$\displaystyle \frac{20}{3 ^{4}}$⑤$\displaystyle \frac{17}{3 ^{4}}$