공 넣는 경우의 수

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 구할 수 있는가? (ⅰ) 서로 다른 상자 $4$개에 넣은 공의 개수가 $3$, $1$, $0$, $0$인 경우 서로 다른 $4$개의 공을 $3$개, $1$개로 나누는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{3} \times _{1} C _{1} = _{4} C _{1} \times _{1} C _{1} = 4 \times 1 = 4$ $3$, $1$, $0$, $0$을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} = 12$ 따라서 서로 다른 공 $4$개를 서로 다른 상자 $4$개에 넣은 공의 개수가 $3$, $1$, $0$, $0$인 경우의 수는 $4 \times 12 = 48$ (ⅱ) 서로 다른 상자 $4$개에 넣은 공의 개수가 $2$, $1$, $1$, $0$인 경우 서로 다른 $4$개의 공을 $2$개, $1$개, $1$개로 나누는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{2} \times _{2} C _{1} \times _{1} C _{1} = 6 \times 2 \times 1 = 12$ $2$, $1$, $1$, $0$을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} = 12$ 따라서 서로 다른 공 $4$개를 서로 다른 상자 $4$개에 넣은 공의 개수가 $2$, $1$, $1$, $0$인 경우의 수는 $12 \times 12 = 144$ (ⅲ) 서로 다른 상자 $4$개에 넣은 공의 개수가 $1$, $1$, $1$, $1$인 경우 서로 다른 공 $4$개를 서로 다른 상자 $4$개에 넣은 공의 개수가 $1$, $1$, $1$, $1$인 경우의 수는 $4 ! = 24$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는 $48 + 144 + 24 = 216$