공 나열 조건

조건 (가)에서 흰색 공 $3$개에 의해 검은색 공들이 놓일 수 있는 자리가 총 $4$개의 영역으로 나누어진다. 이 $4$개의 영역에 놓이는 검은색 공의 개수를 왼쪽부터 차례대로 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$, $x _{4}$라 하면 $x _{1} \bigcirc x _{2} \bigcirc x _{3} \bigcirc x _{4}$ 이다. 검은색 공의 총 개수가 $12$개이므로 다음 방정식이 성립한다. $x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 12$ 조건 (가)에 의해 흰색 공 사이의 영역에는 적어도 한 개의 검은색 공이 있어야 하므로 $x _{2} \geq 1$, $x _{3} \geq 1$이다. 양 끝 영역의 공 개수는 $0$ 이상이므로 $x _{1} \geq 0$, $x _{4} \geq 0$이다. 또한 조건 (나)에 의해 모든 검은색 공은 적어도 한 개의 검은색 공과 이웃해야 하므로, 어느 영역에도 검은색 공이 단 $1$개만 놓일 수는 없다. 즉, $x _{i} \ne 1$ ($i = 1$, $2$, $3$, $4$) 이다. 따라서 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$, $x _{4}$는 다음을 만족해야 한다. $x _{1}$, $x _{4} \in \left\{ 0 , 2 , 3 , \cdots \right\}$ $x _{2}$, $x _{3} \in \left\{ 2 , 3 , 4 , \cdots \right\}$ 이 조건을 만족하는 음이 아닌 정수해 $\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} \right)$의 순서쌍의 개수를 구하기 위해 $x _{1}$과 $x _{4}$의 값과 범위에 따라 다음과 같이 경우를 나누면 (ⅰ) $x _{1} = 0$, $x _{4} = 0$일 때 $x _{2} \geq 2$, $x _{3} \geq 2$이므로 $x _{2}' = x _{2} - 2$, $x _{3}' = x _{3} - 2$로 놓으면 $x _{2}'$, $x _{3}'$은 음이 아닌 정수이다. $x _{2} + x _{3} = 12$에서 $x _{2}' + x _{3}' = 8$ 이 방정식을 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\left( x _{2}' , x _{3}' \right)$의 개수는 $\mathit{_{2}} \mathrm{H} \mathit{_{8}} = \mathit{_{9}} \mathrm{C} \mathit{_{8}} = 9$ (ⅱ) $x _{1} = 0$, $x _{4} \geq 2$ 또는 $x _{1} \geq 2$, $x _{4} = 0$일 때 이때 $x _{1} = 0$, $x _{4} \geq 2$인 경우의 수를 구하면 $x _{2} \geq 2$, $x _{3} \geq 2$, $x _{4} \geq 2$이므로 $x _{2}' = x _{2} - 2$, $x _{3}' = x _{3} - 2$, $x _{4}' = x _{4} - 2$로 놓으면 $x _{2}'$, $x _{3}'$, $x _{4}'$은 음이 아닌 정수이다. $x _{2} + x _{3} + x _{4} = 12$에서 $x _{2}' + x _{3}' + x _{4}' = 6$ 이 방정식을 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\left( x _{2}' , x _{3}' , x _{4}' \right)$의 개수는 $\displaystyle \mathit{_{3}} \mathrm{H} \mathit{_{6}} = \mathit{_{8}} \mathrm{C} \mathit{_{6}} = \mathit{_{8}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 이때 $x _{1} \geq 2$, $x _{4} = 0$일 때도 경우의 수가 같으므로 $2 \times 28 = 56$ (ⅲ) $x _{1} \geq 2$, $x _{4} \geq 2$일 때 $x _{1} \geq 2$, $x _{2} \geq 2$, $x _{3} \geq 2$, $x _{4} \geq 2$이므로, $x _{i}' = x _{i} - 2$ ($i = 1$, $2$, $3$, $4$)로 놓으면 $x _{1}'$, $x _{2}'$, $x _{3}'$, $x _{4}'$은 음이 아닌 정수이다. $x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 12$에서 $x _{1}' + x _{2}' + x _{3}' + x _{4}' = 4$ 이 방정식을 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 $\left( x _{1}' , x _{2}' , x _{3}' , x _{4}' \right)$의 개수는 $\displaystyle \mathit{_{4}} \mathrm{H} \mathit{_{4}} = \mathit{_{7}} \mathrm{C} \mathit{_{4}} = \mathit{_{7}} \mathrm{C} \mathit{_{3}} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 이상에서 구하는 경우의 수는 $9 + 56 + 35 = 100$