공 나누기 빈칸 추론

[출제의도] 순열과 조합을 활용하여 추론하기 빈 주머니가 생기지 않도록 나누어 넣는 경우의 수는 세 주머니 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 먼저 흰 공 $6$개를 남김없이 나누어 넣은 후 검은 공 $6$개를 남김없이 나누어 넣을 때, 흰 공을 넣지 않은 주머니가 있으면 그 주머니에는 검은 공이 $1$개 이상 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수와 같다. 흰 공이 들어가는 주머니의 개수를 $n$이라 하면 (ⅰ) $n = 3$일 때 세 주머니 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 흰 공을 각각 $1$개 이상 나누어 넣는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{3}$, 검은 공을 나누어 넣는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{6}$이므로 이 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{3} \times \left. {\square {{}_{3} \mathrm{H} _{6 _{} ^{}} ^{{} ^{}}}} \right.$이다. (ⅱ) $n = 2$일 때 세 주머니 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ 중 $2$개의 주머니에 흰 공을 각각 $1$개 이상 나누어 넣는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{2} \times _{2} \mathrm{H} _{4}$, $1$개의 빈 주머니에 검은 공 $1$개를 넣고 나머지 $5$개의 검은 공을 나누어 넣는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{5}$이므로 이 경우의 수는 $\left. {\square {{}_{3} \mathrm{C} _{2} \times _{2} \mathrm{H} _{4} \times _{3} \mathrm{H} _{5 _{} ^{}} ^{{}^{}}}} \right.$이다. (ⅲ) $n = 1$일 때 세 주머니 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ 중 $1$개의 주머니에 흰 공을 넣는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{1} \times 1$, $2$개의 빈 주머니에 검은 공을 각각 $1$개씩 넣고 나머지 $4$개의 검은 공을 나누어 넣는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{4}$이므로 이 경우의 수는 $\left. {\square {{}_{3} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{H} _{4 _{} ^{}} ^{{}^{}}}} \right.$이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{3} \times \left. {\square {28 _{} ^{}}} \right. + \left. {\square {315 _{} ^{}}} \right. + \left. {\square {45 _{} ^{}}} \right.$이다. $p = 28$, $q = 315$, $r = 45$이므로 따라서 $p + q + r = 388$