공 나누어 주기

학생 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$, ${\mathrm{E}}$가 받는 검은 공의 개수를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$라 하고 학생 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$, ${\mathrm{E}}$가 받는 흰 공의 개수를 각각 $a'$, $b'$, $c'$, $d'$, $e'$이라 하자. 이때 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $a'$, $b'$, $c'$, $d'$, $e'$은 모두 음이 아닌 정수이다. 공이 모두 $8$개이고, 조건 (가)에서 학생 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$가 받는 공의 개수의 합이 홀수이므로 학생 ${\mathrm{D}}$, ${\mathrm{E}}$가 받는 공의 개수의 합 $\left( d + d' \right) + \left( e + e' \right)$은 홀수이다. 이때, 조건 (나)를 만족시키는 $d + d'$, $e + e'$의 값은 $d + d' = 2$, $e + e' = 1$뿐이다. (ⅰ) $\left( d , d' , e , e' \right) = \left( 2 , 0 , 1 , 0 \right)$인 경우 $a + b + c = 1$, $a' + b' + c' = 4$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{4}} = 45$ (ⅱ) $\left( d , d' , e , e' \right) = \left( 2 , 0 , 0 , 1 \right)$인 경우 $a + b + c = 2$, $a' + b' + c' = 3$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}} = 60$ (ⅲ) $\left( d , d' , e , e' \right) = \left( 1 , 1 , 1 , 0 \right)$인 경우 $a + b + c = 2$, $a' + b' + c' = 3$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}} = 60$ (ⅳ) $\left( d , d' , e , e' \right) = \left( 1 , 1 , 0 , 1 \right)$인 경우 $a + b + c = 3$, $a' + b' + c' = 2$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} = 60$ (ⅴ) $\left( d , d' , e , e' \right) = \left( 0 , 2 , 1 , 0 \right)$인 경우 $a + b + c = 3$, $a' + b' + c' = 2$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} = 60$ (ⅵ) $\left( d , d' , e , e' \right) = \left( 0 , 2 , 0 , 1 \right)$인 경우 $a + b + c = 4$, $a' + b' + c' = 1$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{4}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}} = 45$ (ⅰ)$\sim$(ⅵ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $2 \times \left( 45 + 60 + 60 \right) = 330$