공 나누어 주기

조건 (가)에서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$ 이상 $2$ 이하이고 조건 (나)에서 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $2$ 이상이므로 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수를 기준으로 나누면 (ⅰ) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$일 때 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $2$, $3$, $4$인 경우의 수는 서로 다른 $2$개에서 중복을 허락하여 $2$, $3$, $4$개를 선택하는 경우의 수와 같고 나머지는 학생 $\mathrm{C}$에게 주면 되므로 구하는 경우의 수는 ${} _{2} H _{2} + _{2} H _{3} + _{2} H _{4} = _{3} C _{2} + _{4} C _{3} + _{5} C _{4} = 12$ 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $5$, $6$, $7$, $8$인 경우의 수는 학생 $\mathrm{C}$가 받는 공의 개수가 서로 다른 $2$개에서 중복을 허락하여 $0$, $1$, $2$, $3$개를 선택하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 ${} _{2} H _{0} + _{2} H _{1} + _{2} H _{2} + _{2} H _{3} = _{1} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + _{4} C _{3} = 10$ 따라서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$인 경우의 수는 $12 + 10 = 22$ (ⅱ) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $1$일 때 학생 $\mathrm{A}$가 공을 받는 경우의 수는 흰 공 또는 검은 공의 $2$가지 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $2$, $3$인 경우의 수는 ${} _{2} H _{2} + _{2} H _{3} = _{3} C _{2} + _{4} C _{3} = 7$ 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $4$, $5$, $6$, $7$인 경우의 수는 학생 $\mathrm{C}$가 받는 공의 개수가 $0$, $1$, $2$, $3$인 경우의 수와 같으므로 ${} _{2} H _{0} + _{2} H _{1} + _{2} H _{2} + _{2} H _{3} = _{1} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + _{4} C _{3} = 10$ 따라서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $1$인 경우의 수는 $2 \times \left( 7 + 10 \right) = 34$ (ⅲ) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $2$일 때 (a) 학생 $\mathrm{A}$가 같은 색의 공을 받은 경우 학생 $\mathrm{A}$가 같은 색의 공을 받은 경우의 수는 $2$가지 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $2$인 경우의 수는 ${} _{2} H _{2} = _{3} C _{2} = 3$ 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $3$인 경우의 수는 학생 $\mathrm{A}$가 받은 공과 같은 공의 개수가 $0$, $1$, $2$인 경우 $3$가지 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $4$, $5$, $6$인 경우의 수는 학생 $\mathrm{C}$가 받는 공의 개수가 $0$, $1$, $2$인 경우의 수와 같으므로 ${} _{2} H _{0} + _{2} H _{1} + _{2} H _{2} = _{1} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{2} = 6$ 따라서 학생 $\mathrm{A}$가 같은 색의 공 $2$개를 받는 경우의 수는 $2 \times \left( 3 + 3 + 6 \right) = 24$ (b) 학생 $\mathrm{A}$가 다른 색의 공을 받은 경우 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $2$, $3$인 경우의 수는 ${} _{2} H _{2} + _{2} H _{3} = _{3} C _{2} + _{4} C _{3} = 7$ 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $4$, $5$, $6$인 경우의 수는 학생 $\mathrm{C}$가 받는 공의 개수가 $0$, $1$, $2$인 경우의 수와 같으므로 ${} _{2} H _{0} + _{2} H _{1} + _{2} H _{2} = _{1} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{2} = 6$ 따라서 학생 $\mathrm{A}$가 다른 색의 공 $2$개를 받은 경우의 수는 $7 + 6 = 13$ (a), (b)에서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $2$인 경우의 수는 $24 + 13 = 37$ 이상에서 구하는 모든 경우의 수는 $22 + 34 + 37 = 93$ [다른 풀이] 조건 (가)에서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$ 이상 $2$ 이하이고 조건 (나)에서 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $2$ 이상이므로 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수를 기준으로 나누면 (ⅰ) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$일 때 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 흰 공과 검은 공을 나누어주는 경우의 수는 ${}_{2} \mathrm{H} _{4} \times _{2} H _{4} = _{5} \mathrm{C} _{4} \times _{5} C _{4} = 25$ 이때, 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $0$인 경우의 $1$가지와 $1$인 경우의 $2$가지를 제외하면 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $0$인 경우의 수는 $25 - 3 = 22$ (ⅱ) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $1$일 때 학생 $\mathrm{A}$가 공을 받는 경우의 수는 흰 공 또는 검은 공의 $2$가지 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 흰 공과 검은 공을 나누어주는 경우의 수는 흰 공 또는 검은 공이 $1$개 빠졌으므로 ${}_{2} \mathrm{H} _{3} \times _{2} H _{4} = _{4} C _{3} \times _{5} C _{4} = 20$ 이때, 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $0$인 경우의 $1$가지와 $1$인 경우의 $2$가지를 제외하면 $20 - 3 = 17$ 따라서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $1$인 경우의 수는 $2 \times 17 = 34$ (ⅲ) 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $2$일 때 (a) 학생 $\mathrm{A}$가 같은 색의 공을 받은 경우 학생 $\mathrm{A}$가 같은 색의 공을 받은 경우의 수는 $2$가지 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 흰 공과 검은 공을 나누어주는 경우의 수는 흰 공 또는 검은 공이 $2$개 빠졌으므로 ${}_{2} \mathrm{H} _{2} \times _{2} H _{4} = _{3} C _{2} \times _{5} C _{4} = 15$ 이때, 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $0$인 경우의 $1$가지와 $1$인 경우의 $2$가지를 제외하면 $15 - 3 = 12$ 따라서 학생 $\mathrm{A}$가 같은 색의 공 $2$개를 받는 경우의 수는 $2 \times 12 = 24$ (b) 학생 $\mathrm{A}$가 다른 색의 공을 받은 경우 두 학생 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 흰 공 $3$개와 검은 공 $3$개를 나누어주는 경우의 수는 ${}_{2} \mathrm{H} _{3} \times _{2} H _{3} = _{4} C _{3} \times _{4} C _{3} = 16$ 이때, 학생 $\mathrm{B}$가 받는 공의 개수가 $0$인 경우의 $1$가지와 $1$인 경우의 $2$가지를 제외하면 학생 $\mathrm{A}$가 다른 색의 공 $2$개를 받은 경우의 수는 $16 - 3 = 13$ (a), (b)에서 학생 $\mathrm{A}$가 받는 공의 개수가 $2$인 경우의 수는 $24 + 13 = 37$ 이상에서 구하는 모든 경우의 수는 $22 + 34 + 37 = 93$