공 꺼내기 순서

[출제의도] 이항정리를 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다. $a _{p+1}$부터 $a _{9}$까지의 $( 9 - p )$개의 수 중에서 최솟값은 $a _{q}$, 즉 $a _{q} = 1$, $9$는 $a _{p} = 8$보다 큰 수이므로 최댓값은 $a _{9} = 9$이다. ⅰ) 첫 번째와 $p$번째 사이의 공을 꺼내는 경우의 수는 $a _{1} = 2$, $a _{p} = 8$, $a _{q} = 1$, $a _{9} = 9$가 적힌 공을 제외한 $5$개의 공 중에서 $( p - 2 )$개의 공을 꺼내는 조합의 수이므로 ${} _{5} \mathrm{C} _{\mathit{p} - 2}$이다. ⅱ) ⅰ)에서 남아 있는 공 중 $p$번째와 $q$번째 사이의 공을 꺼내는 경우의 수는 $a _{q} = 1$, $a _{9} = 9$가 적힌 공을 제외한 $( 9 - p - 2 ) = ( 7 - p )$개의 공 중에서 $( q - p - 1 )$개의 공을 꺼내는 조합의 수이므로 ${} _{7 - p} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{q} - p - 1}}}$이다. ⅲ) ⅰ)과 ⅱ)의 과정을 거치면 $q$번째와 $9$번째 사이의 공은 정해진다. 이때, $p$가 정해지면 $q$가 취할 수 있는 값은 $p + 1$부터 $8$까지이므로 ⅱ)에 의해 $\displaystyle \sum\limits _{q = p + 1} ^{8} {}_{7 - p} \mathrm{C} _{\mathit{q} - p - 1}$ $q - p - 1 = k$로 놓으면 $q = p + 1$일 때 $k = 0$이고, $q = 8$일 때 $k = 7 - p$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{q = p + 1} ^{8} {}_{7 - p} \mathrm{C} _{\mathit{q} - p - 1}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 0} ^{7 - p} {}_{7 - p} \mathrm{C} _{\mathit{k}}$$= ( 1 + 1 ) ^{7 - p}$$= 2 ^{7 - p}$ $p$의 값은 $2$부터 $7$까지 취할 수 있다. 그러므로 구하는 값은 ⅰ)에 의해 $\displaystyle \sum\limits _{p = 2} ^{7} {}_{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{p} - 2}}} 2 ^{7 - p}$ 따라서 $p - 2 = r$로 놓으면 $p = 2$일 때 $r = 0$이고, $p = 7$일 때 $r = 5$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{p = 2} ^{7} {}_{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{p} - 2}}} 2 ^{7 - p}$$\displaystyle = \sum\limits _{r = 0} ^{5} {}_{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{r}}}} 2 ^{5 - r}$$= ( 2 + 1 ) ^{5}$$= 243$ [다른 풀이] 구하는 경우의 수는 $a _{1} = 2$, $a _{p} = 8$, $a _{q} = 1$, $a _{9} = 9$가 적힌 $4$개의 공을 제외한 $5$개의 공을 첫 번째와 $p$번째 사이, $p$번째와 $q$번째 사이, $q$번째와 $9$번째 사이로 나누는 경우의 수와 같다. 그러므로 ${}_{5} \mathrm{C} _{\mathit{0}} \mathit{\times} ( _{5} \mathrm{C} _{\mathit{0}} \cdot \mathrm{_{5}} \mathrm{C} _{5} + _{5} \mathrm{C} _{\mathit{1}} \cdot \mathrm{_{4}} \mathrm{C} _{\mathit{4}} + _{5} \mathrm{C} _{\mathit{2}} \cdot \mathrm{_{3}} \mathrm{C} _{\mathit{3}}$ $+ _{5} \mathrm{C} _{\mathit{3}} \cdot \mathrm{_{2}} \mathrm{C} _{\mathit{2}} + _{5} \mathrm{C} _{\mathit{4}} \cdot \mathrm{_{1}} \mathrm{C} _{\mathit{1}} + _{5} \mathrm{C} _{\mathit{5}} \cdot 1 )$ $+ _{5} \mathrm{C} _{\mathit{1}} \mathit{\times} ( _{4} \mathrm{C} _{\mathit{0}} \cdot \mathrm{_{4}} \mathrm{C} _{4} + _{4} \mathrm{C} _{\mathit{1}} \cdot _{3} \mathrm{C} _{3} + _{4} \mathrm{C} _{\mathit{2}} \cdot _{2} \mathrm{C} _{2}$$+ _{4} \mathrm{C} _{\mathit{3}} \cdot _{1} \mathrm{C} _{1} + _{4} \mathrm{C} _{\mathit{4}} \cdot 1 )$ $+ _{5} \mathrm{C} _{\mathit{2}} \mathit{\times} ( _{3} \mathrm{C} _{\mathit{0}} \cdot _{3} \mathrm{C} _{\mathit{3}} + _{3} \mathrm{C} _{\mathit{1}} \cdot _{2} \mathrm{C} _{\mathit{2}} + _{3} \mathrm{C} _{\mathit{2}} \cdot _{1} \mathrm{C} _{\mathit{1}} + _{3} \mathrm{C} _{\mathit{3}} \cdot 1 )$ $+ _{5} \mathrm{C} _{\mathit{3}} \mathit{\times} ( _{2} \mathrm{C} _{\mathit{0}} \cdot _{2} \mathrm{C} _{2} + _{2} \mathrm{C} _{\mathit{1}} \cdot _{1} \mathrm{C} _{\mathit{1}} + _{2} \mathrm{C} _{\mathit{2}} \cdot 1 )$ $+ _{5} \mathrm{C} _{\mathit{4}} \mathit{\times} ( _{1} \mathrm{C} _{\mathit{0}} \cdot _{1} \mathrm{C} _{\mathit{1}} + _{1} \mathrm{C} _{\mathit{1}} \cdot 1 )$ $+ _{5} \mathrm{C} _{\mathit{5}} \mathit{\times} ( 1 \cdot 1 ) = 243$ [다른 풀이] $a _{p+1}$부터 $a _{9}$까지의 $( 9 - p )$개의 수 중에서 최솟값은 $a _{q}$, 즉 $a _{q} = 1$, $9$는 $a _{p} = 8$보다 큰 수이므로 최댓값은 $a _{9} = 9$이다. $3$이 적힌 공을 꺼내는 경우는 첫 번째와 $p$번째 사이, $p$번째와 $q$번째 사이, $q$번째와 $9$번째 사이 중 하나이므로 그 경우의 수는 $3$이다. $4 , 5 , 6 , 7$이 적힌 공을 꺼내는 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 $3$이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $3 ^{5} = 243$이다.