공 꺼내기 조건부확률

[출제의도] 조합의 수를 이용하여 조건부확률을 구할 수 있는가? 이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 것이 있는 사건을 $\mathrm{A}$, 꺼낸 공 중 검은 공이 $2$개인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P} ( B | A )$ 이고, 이 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 ${}_{8} \mathrm{C} _{4}$이다. 이때 사건 $A$가 일어나는 경우는 수가 같은 것이 $3$만 있는 경우, 수가 같은 것이 $4$만 있는 경우, $3$, $4$가 적힌 흰 공과 $3$, $4$가 적힌 검은 공을 동시에 꺼내는 경우로 나누어 생각할 수 있으므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( A ) = \frac{{}_{6} \mathrm{C} _{2} - 1}{{}_{8} \mathrm{C} _{4}} + \frac{{}_{6} \mathrm{C} _{2} - 1}{{}_{8} \mathrm{C} _{4}} + \frac{1}{{}_{8} \mathrm{C} _{4}}$$\displaystyle = \frac{14}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{29}{70}$ 한편, 사건 $A$와 사건 $B$가 동시에 일어나는 경우는 수가 같은 것이 $3$만 있고 검은 공이 $2$개인 경우, 수가 같은 것이 $4$만 있고 검은 공이 $2$개인 경우, $3$, $4$가 적힌 흰 공과 $3$, $4$가 적힌 검은 공을 동시에 꺼내는 경우로 나누어 생각할 수 있으므로 $\mathrm{P} ( A \cap B )$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{1} \times _{3} C _{1} - 1}{{}_{8} \mathrm{C} _{4}} + \frac{{}_{3} \mathrm{C} _{1} \times _{3} C _{1} - 1}{{}_{8} \mathrm{C} _{4}} + \frac{1}{{}_{8} \mathrm{C} _{4}}$ $\displaystyle = \frac{8}{70} + \frac{8}{70} + \frac{1}{70}$$\displaystyle = \frac{17}{70}$ 따라서 ∴$\mathrm{P} ( B | A )$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} {( A \cap B )}}{\mathrm{P} ( A )}$$\displaystyle = \frac{\frac{17}{70}}{\frac{29}{70}} = \frac{17}{29}$