공 꺼내기 조건부확률

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 수학적 확률을 구할 수 있는가? 주머니에 있는 8개의 공 중에서 4개의 공을 임의로 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle \mathrm{_{8}} C _{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 경우는 3이 적힌 공이 두 개 또는 4가 적힌 공이 두 개 또는 3, 3, 4, 4 가 적힌 공이 나오는 경우이다. 이때, 3이 적힌 공이 두 개 나오는 경우는 나머지 여섯 개의 공 중에서 두 개의 공을 꺼낼 때 4가 적힌 공 두 개가 나오는 경우를 빼면 되므로 $\mathrm{_{6}} C _{2} - 1 = 15 - 1 = 14$ 따라서, 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 경우의 수는 $14 \times 2 + 1 = 29$ 또한, 3이 적힌 공이 두 개 나온 경우 중 검은 공이 두 개인 경우는 나머지 검은 공 중 4가 적힌 공을 제외한 두 개의 공 중 한 개를 꺼내고 흰 공 3개 중에서 한 개를 꺼내거나 나머지 검은 공 중 4가 적힌 공을 꺼내고 흰 색 공 중 4를 제외한 두 개의 공 중에서 한 개의 공을 꺼내면 되므로 $\mathrm{_{2}} C _{1} \times _{3} C _{1} + 1 \times _{2} C _{1} = 6 + 2 = 8$ 따라서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같으면서 검은 공의 개수가 두 개인 경우의 수는 $\mathrm{2} ( _{2} C _{1} \times _{3} C _{1} + 1 \times _{2} C _{1} ) + 1 = 17$ 이때 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 사건을 $\mathrm{A}$, 꺼낸 공 중 검은 공이 2개인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P} ( B | A ) = \frac{\mathrm{P} ( A \cap B )}{\mathrm{P} ( A )}$$\displaystyle = \frac{\frac{17}{70}}{\frac{29}{70}} = \frac{17}{29}$ 따라서 $p = 29$, $q = 17$ 이므로 ∴ $p + q = 46$