공 꺼내기 조건부확률

[출제의도] 조건부확률을 이해하여 확률을 구하는 문제를 해결한다. 시행을 한 번 한 후 주머니에 들어 있는 모든 공에 적힌 수의 합이 $3$의 배수인 사건을 $A$, 주머니에서 꺼낸 $2$개의 공이 서로 다른 색인 사건을 $B$라 하자. 주머니에 들어 있는 모든 공에 적힌 수의 합이 $9$이므로 이 시행을 한 번 한 후 주머니에 들어 있는 공에 적힌 수의 합이 $3$의 배수가 되는 경우는 꺼낸 $2$개의 공의 색깔에 따라 다음과 같이 두 가지이다. (ⅰ) 꺼낸 $2$개의 공이 서로 다른 색인 경우 꺼낸 $2$개의 공이 (①, ❷) 또는 (②, ❶)이어야 하므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}$$\displaystyle = \frac{2}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$$\displaystyle = \frac{1}{5}$ (ⅱ) 꺼낸 $2$개의 공이 서로 같은 색인 경우 꺼낸 $2$개의 공이 (❶, ❸)이고 이 두 개의 공 중 ❶을 주머니에 다시 넣거나, 꺼낸 $2$개의 공이 (❷, ❸)이고 이 두 개의 공 중 ❷를 주머니에 다시 넣어야 하므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B ^{C} \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}}} \times \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{1}{10}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( B | A \right)}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{(} A \cap B )}{\mathrm{P} \mathit{(} A )}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{(} A \cap B )}{\mathrm{P} \mathit{(} A \cap B ) + \mathrm{P} \mathit{(} A \cap B ^{C} )}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10}}$$\displaystyle = \frac{2}{3}$ 따라서 $p = 3$, $q = 2$이므로 $p + q = 5$