확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

공 꺼내기 점수 확률

문제

주머니에 숫자 1,2,3,41 , 2 , 3 , 4가 하나씩 적혀 있는 흰 공 44개와 숫자 4,5,6,74 , 5 , 6 , 7이 하나씩 적혀 있는 검은 공 44개가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

주머니에서 임의로 22개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 공이 서로 다른 색이면 1212을 점수로 얻고, 꺼낸 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 두 공에 적힌 수의 곱을 점수로 얻는다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 2424 이하의 짝수일 확률이 qp\displaystyle \frac{q}{p}일 때, p+qp + q 의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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51

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해설

[출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학적 확률을 구할 수 있는가 (ⅰ) 꺼낸 두 공이 서로 다른 색인 경우 얻는 점수가 1212이므로 조건을 만족시킨다. 이 경우의 확률은 4C1×4C18C2=1628\displaystyle \frac{{} _{4} {\mathrm{C}} _{1} {\times} _{4} {\mathrm{C}} _{1}}{{} _{8} {\mathrm{C}} _{2}} = \frac{16}{28}=47\displaystyle = \frac{4}{7} (ⅱ) 꺼낸 두 공이 서로 같은 색인 경우 88개의 공 중에서 22개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 8C2=28{} _{8} {\mathrm{C}} _{2} = 28 (ⅱ-1) 꺼낸 두 공의 색이 모두 흰 색인 경우 두 공에 적힌 수의 곱이 짝수이면 조건을 만족시키므로 이 경우의 수는 4C2−2C2=6−1=5{} _{4} {\mathrm{C}} _{2} - _{2} {\mathrm{C}} _{2} = 6 - 1 = 5 (ⅱ-2) 꺼낸 두 공이 모두 검은 색인 경우 두 공에 적힌 수의 집합이 {4,5}\left\{ 4 , 5 \right\}, {4,6}\left\{ 4 , 6 \right\} 이어야 하므로 이 경우의 수는 22이다. 그러므로 꺼낸 두 공이 서로 같은 색이고 얻은 점수가 2424 이하의 짝수일 확률은 5+228=728=14\displaystyle \frac{5 + 2}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 47+14=2328\displaystyle \frac{4}{7} + \frac{1}{4} = \frac{23}{28} 이므로 p+q=28+23=51p + q = 28 + 23 = 51

태그

#수학적 확률#경우 나누기

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