공 꺼내기 점수 빈칸

빨간색 공 $6$개, 파란색 공 $3$개, 노란색 공 $3$개가 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내는 시행을 하여, 다음 규칙에 따라 세 사람 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 점수를 얻는다. (단, 한 번 꺼낸 공은 다시 주머니에 넣지 않는다.)

∙ 빨간색 공이 나오면 $\mathrm{A}$는 $3$점, $\mathrm{B}$는 $1$점, $\mathrm{C}$는 $1$점을 얻는다. ∙ 파란색 공이 나오면 $\mathrm{A}$는 $2$점, $\mathrm{B}$는 $6$점, $\mathrm{C}$는 $2$점을 얻는다. ∙ 노란색 공이 나오면 $\mathrm{A}$는 $2$점, $\mathrm{B}$는 $2$점, $\mathrm{C}$는 $6$점을 얻는다.

이 시행을 계속하여 얻은 점수의 합이 처음으로 $24$점 이상인 사람이 나오면 시행을 멈춘다. 다음은 얻은 점수의 합이 $24$점 이상인 사람이 $\mathrm{A}$뿐일 확률을 구하는 과정이다.

꺼낸 빨간색 공의 개수를 $x$, 파란색 공의 개수를 $y ,$노란색 공의 개수를 $z$라 할 때, 얻은 점수의 합이 $24$점 이상인 사람이 $\mathrm{A}$뿐이기 위해서는 $x$, $y$, $z$가 다음 조건을 만족시켜야한다. $x = 6$, $0 < y < 3$ , $0 < z < 3$ , $y + z \geq 3$ 이 조건을 만족시키는 순서쌍 $( x , y , z )$ 는 $( 6 , 1 , 2 )$ , $( 6 , 2 , 1 )$ , $( 6 , 2 , 2 )$ 이다. (ⅰ) $( x , y , z ) = ( 6 , 1 , 2 )$인 경우의 확률은 $\square {{} ^{} {}^{} ( \text{가} ) {} _{}}$이다. (ⅱ) $( x , y , z ) = ( 6 , 2 , 1 )$인 경우의 확률은 $\square {{} ^{} {}^{} ( \text{가} ) {} _{}}$이다. (ⅲ) $( x , y , z ) = ( 6 , 2 , 2 )$인 경우는 $10$번째 시행에서 빨간색 공이 나와야 하므로 그 확률은 $\square {{} ^{} {}^{} ( \text{나} ) {} _{}}$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은 $2 \times \square {{} ^{} {}^{} ( \text{가} ) {} _{}} + \square {{} ^{} {}^{} ( \text{나} ) {} _{}}$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $p + q \text{의}$ 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{13}{110}$②$\displaystyle \frac{27}{220}$③$\displaystyle \frac{7}{55}$④$\displaystyle \frac{29}{220}$⑤$\displaystyle \frac{3}{22}$