공 꺼내기 기댓값 빈칸

$1$부터 $9$까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 $9$개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 $1$개의 공을 꺼내어 적힌 수를 더하는 시행을 반복한다. 꺼낸 공은 다시 넣지 않으며, 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수이거나 꺼낸 공에 적힌 수를 차례로 더하다가 그 합이 짝수가 되면 이 시행을 멈추기로 한다. 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수를 확률변수 $X$라 하자. 다음은 $\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)$를 구하는 과정이다. (단, 모든 공의 크기와 재질은 서로 같다.)

첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때, 꺼낸 공에 적힌 모든 수의 합이 짝수가 되려면 그 이후 시행에서 홀수가 적힌 공이 한 번 더 나와야 한다. 이때 짝수가 적힌 공은 $4$개이므로 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값 중 가장 큰 값을 $m$이라 하면 $m = \square {\left( \text{가} \right)}$이다. (ⅰ) $X = 1$인 경우 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수이므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 1 \right)$$\displaystyle = \frac{4}{9}$ (ⅱ) $X = 2$인 경우 첫 번째와 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 홀수이므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 2 \right)$$\displaystyle = \frac{{} _{5} \mathrm{P} _{2}}{{} _{9} \mathrm{P} _{2}}$$\displaystyle = \frac{5}{18}$ (ⅲ) $X = k$($3 \leq k \leq m$)인 경우 첫 번째와 $k$번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이고, 두 번째부터 ($k - 1$)번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 짝수이므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = k \right)$$\displaystyle = \frac{\square {\left( \text{나} \right)}}{{} _{9} \mathrm{P} _{\mathit{k}}}$ 따라서 $\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{m} \left\{ i \times \mathrm{P} \left( \mathit{X} = i \right) \right\}$$= 2$

위의 (가)에 알맞은 수를 $a$라 하고, (나)에 알맞은 식을 $f \left( k \right)$라 할 때, $a + f \left( 4 \right)$의 값은? [4점] ①$246$②$248$③$250$④$252$⑤$254$