확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

공 기록 기댓값

문제

주머니에 11부터 2n+12 n + 1까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 2n+12 n + 1개의 공이 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 시행을 한다.

주머니에서 임의로 22개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 22개의 공에 적혀 있는 두 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다. 확인한 두 수가 각각 홀수와 짝수이면 확인한 두 수 중 짝수를 기록하고, 확인한 두 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수이면 숫자 00을 기록한다.

이 시행을 한 번 하여 기록한 수를 확률변수 XX라 하자. E(X2)=14E(X){\mathrm{E}} \left( X ^{2} \right) = 14 {\mathrm{E}} \left( X \right)일 때, E(7X+23)\displaystyle {\mathrm{E}} \left( 7 X + \frac{2}{3} \right)의 값을 구하시오. (단, nn은 자연수이다.) [4점]

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41

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해설

확률변수 XX가 가질 수 있는 값은 00, 22, 44, ⋯\cdots, 2n2 n이고 P(X=0)=nC22n+1C2+n+1C22n+1C2=n2n+1\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 0 \right) = \frac{\mathit{_{n}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}}{\mathit{_{2 n + 1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}} + \frac{\mathit{_{n + 1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}}{\mathit{_{2 n + 1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}} = \frac{n}{2 n + 1} 1≤i≤n1 \leq i \leq n인 모든 자연수 ii에 대하여 P(X=2i)=1C1×n+1C12n+1C2=n+1n(2n+1)\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 2 i \right) = \frac{\mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{n + 1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}}{\mathit{_{2 n + 1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}} = \frac{n + 1}{n \left( 2 n + 1 \right)} 그러므로 P(X=2)=P(X=4)=⋯=P(X=2n){\mathrm{P}} \left( X = 2 \right) = {\mathrm{P}} \left( X = 4 \right) = \cdots = {\mathrm{P}} \left( X = 2 n \right) E(X){\mathrm{E}} \left( X \right) =0×P(X=0)+2×P(X=2)= 0 \times {\mathrm{P}} \left( X = 0 \right) + 2 \times {\mathrm{P}} \left( X = 2 \right) +4×P(X=4)+⋯+2n×P(X=2n)+ 4 \times {\mathrm{P}} \left( X = 4 \right) + \cdots + 2 n \times {\mathrm{P}} \left( X = 2 n \right) =(2+4+⋯+2n)×P(X=2)= \left( 2 + 4 + \cdots + 2 n \right) \times {\mathrm{P}} \left( X = 2 \right) =2(1+2+⋯+n)×n+1n(2n+1)\displaystyle = 2 \left( 1 + 2 + \cdots + n \right) \times \frac{n + 1}{n \left( 2 n + 1 \right)} =2×n(n+1)2×n+1n(2n+1)=(n+1)22n+1\displaystyle = 2 \times \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} \times \frac{n + 1}{n \left( 2 n + 1 \right)} = \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{2 n + 1} E(X2){\mathrm{E}} \left( X ^{2} \right) =02×P(X=0)+22×P(X=2)= 0 ^{2} \times {\mathrm{P}} \left( X = 0 \right) + 2 ^{2} \times {\mathrm{P}} \left( X = 2 \right) +42×P(X=4)+⋯+(2n)2×P(X=2n)+ 4 ^{2} \times {\mathrm{P}} \left( X = 4 \right) + \cdots + \left( 2 n \right) ^{2} \times {\mathrm{P}} \left( X = 2 n \right) ={22+42+⋯+(2n)2}×P(X=2)= \left\{ 2 ^{2} + 4 ^{2} + \cdots + \left( 2 n \right) ^{2} \right\} \times {\mathrm{P}} \left( X = 2 \right) =4(12+22+⋯+n2)×n+1n(2n+1)\displaystyle = 4 \left( 1 ^{2} + 2 ^{2} + \cdots + n ^{2} \right) \times \frac{n + 1}{n \left( 2 n + 1 \right)} =4×n(n+1)(2n+1)6×n+1n(2n+1)\displaystyle = 4 \times \frac{n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6} \times \frac{n + 1}{n \left( 2 n + 1 \right)} =23(n+1)2\displaystyle = \frac{2}{3} \left( n + 1 \right) ^{2} E(X2)=14E(X){\mathrm{E}} \left( X ^{2} \right) = 14 {\mathrm{E}} \left( X \right)이므로 23(n+1)2=14×(n+1)22n+1\displaystyle \frac{2}{3} \left( n + 1 \right) ^{2} = 14 \times \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{2 n + 1}에서 2n+1=212 n + 1 = 21이므로 n=10n = 10 E(X)=(n+1)22n+1=12121\displaystyle {\mathrm{E}} \left( X \right) = \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{2 n + 1} = \frac{121}{21} 따라서 E(7X+23)=7E(X)+23=7×12121+23=41\displaystyle {\mathrm{E}} \left( 7 X + \frac{2}{3} \right) = 7 {\mathrm{E}} \left( X \right) + \frac{2}{3} = 7 \times \frac{121}{21} + \frac{2}{3} = 41

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#이산확률변수#기댓값

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