곡선의 길이

$x = 0$에서$x = \ln 2$까지의 곡선의 길이는 $\displaystyle \int _{0} ^{\ln 2} {} \sqrt{( \frac{1}{4} e ^{2 x} - e ^{- 2 x} ) ^{2} + 1} dx = \int _{0} ^{\ln 2} {} \sqrt{( \frac{1}{4} e ^{2 x} + e ^{- 2 x} ) ^{2}} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\ln 2} {} \sqrt{( \frac{1}{4} e ^{2 x} + e ^{- 2 x} ) ^{2}} dx = \int _{0} ^{\ln 2} {} ( \frac{1}{4} e ^{2 x} + e ^{- 2 x} ) dx$$\displaystyle = \frac{1}{8} e ^{2 \ln 2} - \frac{1}{2} e ^{- 2 \ln 2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ 따라서 곡선의 길이는 $\displaystyle \frac{3}{4}$이다