공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선과 원이 만드는 영역

문제

함수 f(x)={x2(x≥0)−x(x<0)\displaystyle \left. f ( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} _{{} _{{} _{}}} & ( x \geq 0 ) _{{} _{{} _{{} _{}}}} \\ \sqrt{- x} & ( x < 0 ) \end{cases}} 에 대하여 연립부등식 {y≥f(x)x2+(y−1)2≤1\displaystyle {\begin{cases} y \geq f \left( x \right) \\ x ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2 ^{{} ^{{} ^{}}}} \leq 1 \end{cases}}을 만족하는 점 (x,y)( x , y )가 나타내는 영역의 넓이는? [4점] ①π2+12\displaystyle \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}②π−1\pi - 1③π2+34\displaystyle \frac{\pi}{2} + \frac{3}{4}④π2+1\displaystyle \frac{\pi}{2} + 1⑤π−12\displaystyle \pi - \frac{1}{2}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 부등식의 영역의 의미를 이해하여 문제해결하기 함수 f(x)={x2(x≥0)−x(x<0)\displaystyle \left. f ( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} _{{} _{{} _{}}} & ( x \geq 0 ) \\ \sqrt{- x} & ( x < 0 ) \end{cases}} 에 대하여 연립부등식 {y≥f(x)x2+(y−1)2≤1\displaystyle {\begin{cases} y \geq f \left( x \right) _{{} _{{} _{}}} \\ x ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} \leq 1 \end{cases}}을 만족하는 점 (x,y)( x , y )가 나타내는 영역은 아래 그림과 같다.

한편, y=x2(x≥0)y = x ^{2} ( x \geq 0 )의 역함수는 y=x\displaystyle y = \sqrt{x}이고, y=x\displaystyle y = \sqrt{x}와 y=−x\displaystyle y = \sqrt{- x}는 yy축에 대칭이므로 아래 그림과 같이 ①, ②의 영역의 넓이가 같다.

그러므로 위 그림에서 구하는 영역의 넓이는 반지름의 길이가 11인 반원의 넓이와 직각삼각형 BOA\mathrm{BOA}의 넓이의 합이다. 따라서 구하는 영역의 넓이는 π2+1\displaystyle \frac{\pi}{2} + 1이다.

태그

#부등식의 영역#넓이

비슷한 문제 더 보기

공통수학2 문제 모음공통수학2 원의 방정식 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로